Overleg:Complex getal/Archief1

Ik heb wat moeite met de notatie "wortel uit min één". Deze is niet gedefinieerd, daarom liever alleen i²=-1.Elly 23:57 24 jan 2003 (CET)

Ja, da's even wennen ja. In de hogere wiskunde zijn de wortels uit negatieve getallen wel toegestaan. Echt even wennen dus, maar de hele theorie over geluid bijv. wordt er uiteindelijk een stuk simpeler door. De hele theorie over geluid bijvoorbeeld is wel te doen zonder complexe getallen, maar uiteindelijk is het toch handiger.

---

Gaaf Elly! Zo'n tekening was echt hard nodig ja! Groet PS 00:18 25 jan 2003 (CET)

---

Dank je, maar svp. geen overleg verwijderen. Ik wil niet in een welles nietus discussie verzanden over de wortel uit min een. Op de Engelse wiki wordt het netjes vermeden. Anderen een mening hierover?? Elly 00:22 25 jan 2003 (CET)

---

Oh sorry. i = wortel(-1) is gewoon de keiharde objectieve waarheid dus dat MOET gezegd worden. Misschien moet zoiets gezegd worden als: in de hogere wiskunde mag je ineens WEL wortels uit negatieve getallen trekken. Ik weet niet wat de Engelse WP doet, al of niet bewust. Groet, PS 00:26 25 jan 2003 (CET)

---

Hoewel de $i={\sqrt {-1}}$ van mij is, ben ik het hier met Ellywa eens. Elk complex getal heeft niet 1, maar 2 wortels. Derhalve is de wortelfunctie hier niet gepast. Andre Engels 02:15 25 jan 2003 (CET)

---

Andre stak me net de loef af (bewerkingsconflict). Met waarheid heeft het niets van doen, wel met zinnige definities kiezen en Andre heeft m.i. gelijk. De wortel is niet geschikt voor een definitie. Jcwf

---

Mooi!, weer wat geleerd. Dank!!! PS 02:22 25 jan 2003 (CET) Alhoewel: leg eens uit (als je zin hebt) Jcwf net waarschijnlijk z'n tekst kwijtgeraakt? (jammer)

---

De formule x² heeft twee wortels nl. i en -i, daarom is alleen i² = -1 bruikbaar als definitie. Je moet trouwens enorm oppassen met complexe wortels trekken. Het volgende is bijvoorbeeld niet waar:

wortel(-2)*wortel(-2) == wortel(-2*-2) = wortel(4) = 2

De waarheid is

wortel(-2)*wortel(-2) ==wortel(2)*i*wortel(2)*i = -2

Een van de groten heeft deze fout ooit gemaakt, ik geloof Gauss.

---

Geweldig waardevol voorbeeld Jcwf, dat moet naar hiernaast!

---

...maar ze zijn eigenlijk niet anders dan de welbekende getallenparen... Ik veronderstel dat met "getallenparen" elementen uit R² bedoeld worden, maar dan ben ik het hier niet met eens: complexe getallen hebben heel andere eigenschappen dan getallenparen (bijvoord: de functie f van C naar C die z afbeeldt op het complex toegevoegde van z, is niet differentieerbaar als complexe functie, terwijl de geassocieerde functie van R² naar R² totaal afleidbaar is). Misschien moeten we iets schrijven als "C en de verzameling van de getallenparen R² zijn als verzameling gelijk, maar C is (in tegenstelling tot R²), uitgerust met een vermenigvuldiging, waardoor C andere eigenschappen krijgt dan R²." Pieter Penninckx 3 aug 2003 14:34 (CEST)

---

Ook de formule i^2=-1 levert geen definitie op van i! Daarom heb ik de tekst wat aangepast. Uiteindelijk is i slechts een andere naam voor het complexe getal (0,1). De voorgenoemde formule is een eigenschap van i. Wietze Nijdam

---

Hoe zit het met de notatie? In de wiskunde gebruikt men meestal i, terwijl in de elektrotechniek j voor aanduiding van het imaginaire deel gebruikelijk is, om verwarring met de wisselstroom i(t) te voorkomen. Quistnix 2 sep 2004 14:11 (CEST)

Inderdaad. Dit wordt ook genoemd in het hoofdstukje over Cartesische notaties. Zojuist heb ik overigens even de toelichting aangescherpt betreffende het niet mogen gebruiken van de kreet 'wortel uit -1'. Dit staat in datzelfde hoofdstukje. Bob.v.R 2 sep 2004 14:30 (CEST)

Netjes zoals het er allemaal instaat nu! Als mijn geheugen mij niet in de steek laat heette de complex geconjugeerde in mijn tijd toegevoegd complex. Is die term nog gangbaar? Quistnix 2 sep 2004 14:42 (CEST)

Proplemen cartesisch->polair

Ook bij het omzetten van Cartesische naar polaire notatie kan het misgaan: Zakrekenmachines en computertalen geven bij aanroep van arctangens soms een resultaat tussen -pi en +pi, terwijl het complexe getal wel degelijk in het 3de of 4de kwadrant kan liggen. Dit klopt natuurlijk niet. Is inmiddels aangepast. Maar het probleem ontstaat altijd, omdat de arctangens allen gedefinieerd is op (-pi/2,pi/2). Misschien zou het er iets sterker moeten staan. Er is namelijk geen eenduidige formulie voor deze conversie misschien dat iets duidelijker aangeven.

Problemen met weergave

Onder het kopje 'e-macht en logaritme' staat op een gegeven moment de volgende formule:

${\begin{matrix}=&e^{{\mathfrak {Re}}(z_{0})}e^{{\mathfrak {Re}}(z_{1})}\\\end{matrix}}$

Ik weet niet hoe anderen dit zien, maar op mijn computer (zowel in Firefox als IE) ziet het er ongeveer als volgt uit: e^{[2002/01/19v2.2gAMSfontdefinitions]Re(z0)}e^Re(z1). Kennelijk werkt het commando \mathfrak niet goed. Zijn er meer mensen die hier last van hebben en weet iemand een oplossing? RonaldW 19 okt 2004 20:42 (CEST)

Tell me about it. PISSIG dat ik was toen ik aan het bewerken was, PISSIG gewoon.

Een oplossing heb ik vrees ik niet, anders dan bij de ontwikkelaars aanmelden als bug. --BenTels 19 okt 2004 21:10 (CEST)

Ik vind de huidige vorm van het artikel bepaald geen verbetering! Ik heb het begin van het artikel opgeschoond. Op tautologien als een complex getal is een element van de verzameling complexe getallen zit niemand te wachten en verhalen over basisvectoren en lineaire ruimten zijn hier absoluut niet op hun plaats.Nijdam 30 okt 2004 22:49 (CEST)

Bij de laatste correcties heb ik de vermelding:

ook al omdat complexe getallen modulo $2\pi$ gelijk aan elkaar zijn.

weggelaten, omdat daarmee iets anders bedoeld wordt dan er staat. Ook de zin betreffende een niet verschijnend -teken dat zou verschijnen heb ik weggelaten.Nijdam 11 jan 2005 20:56 (CET)

Hier is nog werk aan vind ik. De opmerkingen over distributiviteit in verband met het complex toegevoegde zijn ongelukkig geformuleerd. Ik begrijp wat de bedoeling is, maar dat is niet wat met dist. wordt bedoeld. Ik heb al iets bijgeschaafd, maar het kan nog steeds niet door de beugel. Wie voelt zich geroepen voor een grondige herwerking? DirkD 20 apr 2005 12:46 (CEST)

Foei????

Ik heb de versie van januari weer teruggezet. Ik weet niet wat BenTels beoogt, maar een openingszin: "een compex getal is een element van de complexe getallen" is wel compleet nietszeggend. Foei! Verder sta ik open voor discussie.Nijdam 4 feb 2006 16:08 (CET)

Hier wat punten voor discussie; De R getallen zijn eendimensionaal, ja over zichzelf, nogal logisch. De C getallen zijn tweedimensionaal over R, vanwege hun definitie als paar R getallen. Je kunt ze dus in een vlak voorstellen. Dat staat ook in het artikel. Bij de verticale as staan gewoon reele getallen en niet i, 2i, etc. Weliswaar is het punt op de y-as waar het getal (coordinaat) 1 staat juist het getal i, maar dat is een heel andere zaak. Een basis wordt gevormd door de paren (1,0) en (0,1) en niet (0,i). Complexe getallen zijn paren R getallen!(Foei!). daarom kan dit alles er maar beter niet staan.Nijdam 4 feb 2006 18:00 (CET)

Er is toch niet een editwar begonnen heren? Voor discussie dient juist deze overlegpagina. Een van de partijen zit reeds te discussiëren, nu de andere nog.

Nijdam, je standpunt is verdedigbaar, maar een plausibele redenering (en misschien voor de beginnende lezer beter te volgen) is dat bij bepaalde punten gezet wordt welk complexe getal ermee bedoeld wordt!! Bv. 5, -3i, -2 + 4i, etc. Als dat de filosofie is, dan kunnen we wel complexe getallen genoteerd zien natuurlijk. Bob.v.R 4 feb 2006 21:24 (CET)

Ja, foei ja. In je eerste edit na mijn bewerking van dit artikel heb je de hele essentie van de verzameling der complexe getallen weggegooid! Dan kun je net zo goed het hele artikel op de verwijderlijst zetten. Een complex getal is niet gedefinieerd als een "paar reële", een complex getal is een element van de productverzameling $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$, ook genoteerd als $\mathbb {C}$. Alle eigenschappen van de complexe getallen volgen uit die definitie en het weglaten ervan haalt de essentie uit het artikel.

Wat je as betreft, dat is een lijn in de ruimte $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ beschreven door de parametrisering $t\cdot (0,1);t\in \mathbb {R}$. Door conventie geldt voor de basisvector een notatie van $(0,1i)$ of gewoon $(0,i)$, waardoor de parametrisering $t\cdot (0,i);t\in \mathbb {R}$ wordt. Aangezien de reële component daarvan altijd nul is, kun je afkorten tot $t\cdot i;t\in \mathbb {R}$. Neem daarvan de deelverzameling $t\cdot i;t\in \mathbb {N}$ en dan krijg je de labels waar je kennelijk zo'n probleem mee hebt: $\{\ldots ,-2i,-i,0,i,2i,\ldots \}$. -- BenTels 4 feb 2006 22:20 (CET)

Het lijkt wel een editwar, en de "inleiding van BenTels" is beslist beneden de maat. Ik weet niet wat er te discusieren valt over het gegeven dat een complex getal een paar R-getallen is. Nee, volgens BenTels, het is niet een paar R-getallen, maar een element van RxR??????? Dan de parametrisering van de y-as: volgens BenTels t.(0,1) met t uit R, toch lukt het hem om daar (0,1i) van te maken; tovenarij? Mij gaat het boven de pet. Laat eerst anderen maar eens oordelen.Nijdam 4 feb 2006 22:51 (CET)

Weet je wat een "paar getallen" in de wiskunde is? -- BenTels 4 feb 2006 23:06 (CET)

De eerste regel (!!) 'van BenTels' (gezien de editwar weet ik even geen andere manier om te omschrijven welke versie ik bedoel) waarin staat dat een 'complex getal iets is dat behoort tot de complexe getallen' vind ik ook in het geheel niet kunnen hier; als we dit laten staan dan is kwaliteit kennelijk niet meer van belang!! En verderop komt men in die versie nog eens aan met de 'basisvectoren (0, 1) en (0, i)'. Het spijt me, maar dit wil ik niet serieus nemen. Ik stel voor dat we voorlopig terugkeren naar een door W. Nijdam aan te geven versie, en verdere discussies op een serieuze en inhoudelijke wijze hier op de overlegpagina houden en afronden, alvorens verdere edits te doen. Ik wacht verder af wat anderen hierover vinden. Bob.v.R 4 feb 2006 23:13 (CET)

Ik wil daarmee overigens niet zeggen dat niets van wat BenTels inbrengt behouden kan blijven, maar zoals er in dit artikel rücksichtlos zaken worden verwijderd, daar ben ik geen voorstander van. Bob.v.R 4 feb 2006 23:22 (CET)

Inmiddels zie ik dat Nijdam 'zijn' versie heeft teruggezet. Het lijkt me wel zinvol als we bekijken hoe de inleiding van BenTels (na enige review) een plaats kan krijgen als een goede toelichting ten behoeve van de lezer waarvoor 'complex getal' iets volkomen nieuws is! Bob.v.R 4 feb 2006 23:28 (CET)

Goed idee, mogelijk kan de voorstelling in een vlak naar voren gehaald worden. Het daar getoonde plaatje moet overigens ook nog verbeterd worden, aangezien het ook "mank" gaat aan de i bij de y-as.Nijdam 4 feb 2006 23:33 (CET)

En verderop komt men in die versie nog eens aan met de 'basisvectoren (0, 1) en (0, i)'. Het spijt me, maar dit wil ik niet serieus nemen.

Dan mag je me uitleggen wat er niet aan klopt. Want het hele verhaal zoals ik het geschreven heb, was in mijn jaar eerstejaars algebra. -- BenTels 4 feb 2006 23:38 (CET)

Kijk desnoods naar de referenties die onderaan staan. MathWorld geeft nota bene dezelfde karakterisering als ik: een ideaal met als basisverzameling $\mathbb {R} \times i\mathbb {R}$! -- BenTels 4 feb 2006 23:49 (CET)

Bedoeld was waarschijnlijk: (1, 0) en (0, 1). De basisvectoren zijn beide getallenparen van reëele getallen. De ene basisvector heeft een 1 in de eerste coördinaat. De tweede basisvector, op zijn beurt, heeft een 1 in de tweede coördinaat.

Ik denk dat er geen reden is om te twijfelen aan de juistheid van de versie van Nijdam. Als jij wel passages ziet die onjuist zijn, geef het dan a.u.b. hier aan, want een disclaimer boven een artikel vind ik niet fraai (als deze niet noodzakelijk). Dat neemt niet weg dat aanvulling mogelijk kan zijn, bv. een 'populaire' uitleg, maar het moet wel blijven kloppen natuurlijk.

@Nijdam: kan je bv. '3i' langs een as niet simpelweg zien als een aanduiding dat die punt daar het complexe getal '3i' voorstelt? In dat geval kunnen we hem namelijk laten staan. Groeten, Bob.v.R 4 feb 2006 23:53 (CET)

In de eerste plaats: begrijp zelf wat je schrijft en zegt, en verlaat je niet op MathWorld of (je herinnering) aan je colleges. MathWorld geeft bv. ook de populaire introductie van i=V(-1). Ook staat ergens zoiets als "het punt op de as met i=0". Ik neem aan dat BenT dat toch ook wel wantrouwt. Dan wat de voorstelling in het vlak betreft. Het probleem zit hem erin dat langs de assen de coordinaten worden uitgezet, dus reele getallen. Daarmee geef je punten in het vlak aan, zoals (3,4) = 3+4i. Als je het punt (0,1)=i wil aangeven komt dat natuurlijk net daar te staan waar bij de y-as het getal 1 staat. Maar dat betekent niet dat de coordinaat i is! Ook kun je de basisvectoren (waarom wil iedereen toch zo graag over basisvectoren spreken?) 1=(1,0) en i=(0,1) in het vlak tekenen. Elk complex getal is dan een lineaire combinatie van die twee. Maar is dat de eenvoudige inleiding die we voorstaan?Nijdam 5 feb 2006 00:04 (CET)

In de pagina op de Duitse Wikipedia zag ik een vergelijkbare figuur, maar dan met reële getallen langs de assen; dus die ziet er goed uit. Maar ik weet niet hoe we die figuur naar de Nederlandse Wikipedia zouden kunnen halen. Bob.v.R 1 mrt 2006 11:06 (CET)

Het volgende is ontstaan na enige bewerkingsconflicten: -- BenTels 5 feb 2006 00:30 (CET)

Voor de volledigheid vermeld ik er ook maar bij: in de algebra is een paar (a, b) een element van de productverzameling $A\times B$, met $a\in A$ en $b\in B$. Specifiek is een complex getal (x, iy) een element van de productverzameling $\mathbb {R} \times i\mathbb {R}$. En die productverzameling komt overeen met een vectorruimte, waarin uiteraard de goniometrische en meetkundige regels gelden. Alle eigenschappen van wat wij verkort $\mathbb {C}$ noemen, volgen daaruit. Dat is het hele verhaal. En dat mis ik in de versie die er nu staat volledig. -- BenTels 5 feb 2006 00:27 (CET)

Bedoeld was waarschijnlijk: (1, 0) en (0, 1).

Nee, dat was de bedoeling absoluut niet. De complexe getallen zijn de verzameling $\mathbb {R} \times i\mathbb {R}$. Twee basisvectoren die die ruimte opspannen, zijn (1, 0*i) = (1, 0) en (0, 1*i) = (0, i). Gewoon je definities toepassen: is A een verzameling met elementen {a, b, c, ...} dan is t.A een verzameling met de elementen {ta, tb, tc, ...}. -- BenTels 5 feb 2006 00:27 (CET)

Als jij wel passages ziet die onjuist zijn,

Onjuist? De hele kern van de zaak ontbreekt! De hele relatie tussen de complexe getallen en de reële getallen is weg. -- BenTels 5 feb 2006 00:27 (CET)

In de eerste plaats: begrijp zelf wat je schrijft en zegt, en verlaat je niet op MathWorld of (je herinnering) aan je colleges.

Oh, ja. MathWorld, een opzetje van Stephen Wolfram en consorten, zegt iets anders dan Nijdam en dus moet ik MathWorld maar aan de kant schuiven. En mijn eigen colleges en mijn lesboeken algebra (die ik hier overigens nog heb liggen) erbij, want die geven dezelfde, nu per axioma verkeerde, informatie. Nee, ik geef zondermeer toe: je hebt wel gevoel voor humor.

(waarom wil iedereen toch zo graag over basisvectoren spreken?)

Okee. Ik heb nu een beter idee: we zetten dit artikel op de verwijderlijst en doen voortaan zonder. Want hier gaan we nooit uitkomen. Als jij niet inziet dat de complexe getallen als verzameling isomorf zijn met $\mathbb {R} ^{2}$ en dus met de bijbehorende vectorruimte, dan heeft het gewoon geen zin om hierop door te gaan.

Maar is dat de eenvoudige inleiding die we voorstaan?

Ik heb niets tegen eenvoudig, maar eenvoudig is minder belangrijk dan goed. En wat er nu staat, is niet beter dan de wassen neus die ik in VWO-3 als uitleg kreeg. -- BenTels 5 feb 2006 00:27 (CET)

(na BC) Over die inleiding moeten we m.i. eens goed overleggen. Er zijn namelijk twee richtingen mogelijk waarin het voor de 'leek' kan worden toegelicht; waarschijnlijk kunnen beide wegen (na elkaar) bewandeld worden. Richting 1: vanuit oplossen van polynomiale vergelijkingen, 'natuurlijke' uitbreiding van de reële getallen als we vinden dat naast $x^{2}=9$ ook $x^{2}=-9$ twee oplossingen 'moet kunnen hebben'. Deze richting lijkt mij als eerste in aanmerking te komen. Richting 2: het is niets meer dan de tweedimensionale vectorruimte $\mathbb {R} ^{2}$, uitgebreid met een (heel specifiek gedefinieerde) inverteerbare multiplicatieve operatie ( inverteerbaar ten opzichte van het eenheidselement (1,0) ). Dit leidt dan tot getallenparen met de gewone vectoriële optelling, en die wat 'rare' vermenigvuldiging. Richting 2 kan pas worden gepresenteerd na richting 1, omdat de lezer anders terecht zal vinden dat die vermenigvuldiging wat gekunsteld gedefinieerd is. Bob.v.R 5 feb 2006 00:30 (CET)

Terzijde: ook ik distantieer me geheel van de ${\sqrt {-1}}$ benadering bij Mathworld. Jammer, dat ze hier een steekje laten vallen (dat wil natuurlijk niet zeggen dat ze in het geheel genomen niet goed bezig zouden zijn). Wel hebben ze bij Mathworld zelf ook in de gaten dat hun definitie leidt tot een paradox, die ze netjes in een apart artikeltje vermelden. In het Wikipedia-artikel wordt ook een dergelijke paradox aangegeven, maar hier als toelichting op het feit dat de wortelfunctie niet is gedefinieerd voor negatieve getallen. Bob.v.R 5 feb 2006 00:45 (CET)

Sorry, de paradox in Wikipedia die ik bedoelde is niet te vinden in dit artikel, maar in imaginaire eenheid. Bob.v.R 5 feb 2006 00:51 (CET)

Verder moet ik melden dat door edits van BenTels en Starscream de daar gegeven toelichting nu minder goed uit de verf komt. Jammer. Bob.v.R 5 feb 2006 01:00 (CET)

Even voor BenTels: tot nu toe heb je me niet duidelijk kunnen maken waar het nu eigenlijk om gaat. Laat ik in ieder geval eerst even kijken naar die merkwaardige definitie waar je zo sterk de nadruk op legt, nl de complexe getallen als R x iR. Wat is dat symbool i dat daarin voorkomt? Na je antwoord ga ik verder denken.Nijdam 5 feb 2006 01:02 (CET)

Ik bedenk me net dat ik het me, wat die assen-labeling betreft, onnodig moeilijk gemaakt heb qua uitleg. De complexe getallen zijn de productverzameling $\mathbb {R} \times i\mathbb {R}$. Bij weergave in een gelabeld assenstelsel zet je dus $i\mathbb {R}$ uit tegen $\mathbb {R}$. En de elementen van $i\mathbb {R}$ (laten we ons even beperken tot $i\mathbb {Z}$ voor de labeling) zijn {0, i, i2, -i, -2, ...}. Of, dankzij de commutativiteit, {0, i, -i, 2i, -2i, ...}.

Verder moet ik melden dat door edits van BenTels en Starscream de daar gegeven toelichting nu minder goed uit de verf komt.

Denk dat dat komt omdat ongeveer de helft van de wiskundige gemeenschap anders tegen die paradox aankijkt dan jij. Jij zegt $i={\sqrt {-1}}\Rightarrow -1=1$. De andere helft zegt "binnen de complexe getallen distribueert de vermenigvuldiging niet over het worteltrekken".

Wat is dat symbool i dat daarin voorkomt?

De imaginaire eenheid.

Jongens, ik heb er genoeg van. Ik ga slapen. Tot later. -- BenTels 5 feb 2006 01:37 (CET)

Ben, je merkt op Jij zegt $i={\sqrt {-1}}\Rightarrow -1=1$. De andere helft zegt "binnen de complexe getallen distribueert de vermenigvuldiging niet over het worteltrekken". Je vat daarmee de controverse goed samen. In feite is mijn conclusie vervolgens dat $-1\not =1\Rightarrow i\not ={\sqrt {-1}}$. Is deze samenvatting niet overtuigend genoeg, en blijf je serieus volhouden dat je uit een negatief getal een vierkantswortel moet kunnen trekken? Bob.v.R 5 feb 2006 01:57 (CET)

Hallo, ik herinner mij idd wel een prof die de kriebels kreeg van de constructie $i={\sqrt {-1}}$..., $\imath ^{2}=-1$ was dan wel weer goed MADe 5 feb 2006 09:58 (CET)

Hallo BenTels, ik hoop dat je (meer) uitgeslapen bent. Mijn volgende vraag: wat is de imaginaire eenheid?Nijdam 5 feb 2006 09:52 (CET)

Intermezzo over ${\sqrt {-1}}$

Het punt daarbij is dat je de complexe getallen niet kunt definieren door een speciaal complex getal i in te voeren dat gelijk zou zijn aan ${\sqrt {-1}}$. Zolang we niet weten wat complexe getallen zijn, kunnen we niet de wortel uit een negatief getal trekken. Na de introductie van de complexe getallen, kunnen we het begrip wortel uitbreiden. Soms wordt ${\sqrt {z}}$ als meerwaardige functie opgevat, maar ook als de hoofdwaarde van $e^{{\frac {1}{2}}\log z}$. Hoe ook, de regel ${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$ is niet meer (algemeen) geldig. De paradox steunt op het toepassen van deze regel waar het niet mag.Nijdam 5 feb 2006 12:21 (CET)

---

In feite is mijn conclusie [...]

En dat is een legitieme conclusie die past bij een reductio ad absurdum. De andere helft gaat dan verder door een reparatie toe te passen die bestaat uit het herdefiniëren van de wortelfunctie voor het complexe domein (${\sqrt {}}:\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R}$ versus ${\sqrt {}}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$) zodat een aantal van de eigenschappen van die functie voor het reële domein niet behouden blijven.

Is deze samenvatting niet overtuigend genoeg, en blijf je serieus volhouden dat je uit een negatief getal een vierkantswortel moet kunnen trekken?

In welke context? Voor de wortelfunctie gedefinieerd op een reëel domein is een negatief getal als argument uiteraard betekenisloos. Voor de wortelfunctie op het complexe domein (wat is een negatief getal in het complexe domein? Laten we voor het gemak even spreken over een complex getal met een negatieve, reële component en als imaginaire component 0) kun je wel een definitie geven. En dat kan dan weer omdat de complexe getallen isomorf zijn met $\mathbb {R} ^{2}$ en we een goniometrische betekenis aan het begrip kunnen geven.

Dat is overigens een van de redenen dat ik die uitleg over complexe getallen als vectorruimte er destijds bij heb gezet. Het begrip van dit soort eigenschappen van de complexe getallen gaat gewoon niet zonder het inzicht dat de complexe getallen aan goniometrische definities onderhevig zijn.

Mijn volgende vraag: wat is de imaginaire eenheid?

Probeer je Plato na te doen? Een getal waarvoor bij axioma geldt dat $i^{2}=-1$. En ik zou bij god niet weten waarom je de complexe getallen niet kunt definiëren in termen van i. Sterker nog, ik zou niet weten hoe je de complexe getallen kunt definiëren zonder i. -- BenTels 5 feb 2006 13:18 (CET)

Inderdaad, ik dacht: dan maar de methode Plato. Ik ga er vanuit dat iR de zuiver imaginaire getallen voorstellen. Welk van de paren (a,ib) stel i voor? BTW, wat vind je van mijn concept nieuwe inleiding?Nijdam 5 feb 2006 14:45 (CET)

Welk van de paren (a,ib) stel i voor?

Geen. Het getal i alleen is geen complex getal. Hoogstens kun je zeggen (voor i als ordinaal) dat $i\in i\mathbb {R}$. Specifiek: $i=1\cdot i$.

BTW, wat vind je van mijn concept nieuwe inleiding?

Hetzelfde: het ontbeert elke relatie met de algebraïsche opbouw van de complexe getallen. Je probeert er een populair verhaaltje van te maken zonder wiskundige onderbouwing, net zoals de gemiddelde middelbare schooldocent wiskunde die iets moet vertellen over "$\mathbb {C}$" omdat het symbool "$\mathbb {C}$" bij de examenstof hoort, maar zonder er echt iets over te zeggen omdat dat te moeilijk is voor zijn koters.

Ik denk eerlijk gezegd ook dat dat het echte probleem is dat we hier hebben. Ik heb destijds geprobeerd een stuk te schrijven dat algebraïsch klopt, waar de opbouw van de complexe getallen in terugkomt. Complexe getallen zoals ze behandeld worden voor eerstejaars (in mijn geval) informatici op de universiteit. Jij en Bob willen er een stuk van maken dat geschreven is op het wiskunde-niveau van pak-'m-beet VWO 3. En wat ik wil kan en wat jullie willen kan ook, maar niet tegelijkertijd. Dus ik denk dat de vraag eigenlijk is: voor welk niveau moet het stuk geschreven worden? Wat erin moet komen en wat weggelaten moet worden, volgt uit het antwoord op die vraag. -- BenTels 5 feb 2006 15:57 (CET)

Tja?Nijdam 5 feb 2006 16:10 (CET)

In de huidige inleiding mis ik nog wel de benadering die ik hierboven onder 'richting 1' geformuleerd heb! Wat betreft de laatste opmerking van BenTels: een artikel in een encyclopedie zou inderdaad een inleiding moeten hebben die voor een breed publiek te volgen is, kaderzettend is, en niet onnodig formeel. Daarna komen de details en verdere relevante feiten (inclusief de 'moeilijke' feiten, die misschien slechts voor een kleinere groep lezers begrijpelijk zal zijn; tenzij die in een 'verdiepingsartikel' beter kunnen worden uitgewerkt).

Naast deze overwegingen betreffende de doelgroep geldt dat het wel moet kloppen wat er staat, het geen redeneerfouten mag bevatten, etc. Dit geldt zowel voor het inleidende deel als voor het 'moeilijke' gedeelte. Een definitie zoals 'een complex getal is iets dat behoort tot de verzameling van de complexe getallen' is wat mij betreft dus volstrekt niet aanvaardbaar; een recursieve definitie kunnen we in een serieuze encyclopedie niet hebben. Ik zeg toch ook niet 'een gespikkelde langstaartleguaan is een dier dat behoort tot de klasse van de gespikkelde langstaartleguanen'? Bob.v.R 5 feb 2006 19:48 (CET)

Het lijkt mij dat een complex getal weldegelijk een element van de verzameling $\mathbb {C}$ is en dat alles wat erover te zeggen is uit dat feit volgt. Maar als je er zo zwaar aan tilt, stel ik de volgende oplossing voor: hernoem het artikel tot complexe getallen, schrijf over de verzameling en haar eigenschappen en de manier waarop je die in een gegeven element terugziet en ga niet uit van het enkele element als onderwerp. -- BenTels 5 feb 2006 20:55 (CET)

Geen misverstand: ik ben niet voorstander van een wijziging van de titel van het artikel!! Ik reageer slechts op de door jou gewenste eerste zin van het artikel! Ik zeg niet dat de zin onwaar is, maar wel zeg ik dat een definitie die recursief is de lezer alleen maar het bos instuurt en irritaties oproept. Ik weet niet hoe ik je nog duidelijker moet maken (na mijn voorbeeld over de leguaan) wat ik bedoel. Bob.v.R 6 feb 2006 00:42 (CET)

Ik snap wel wat je bedoelt; ik ben het niet met je eens. Ik vind dat je moet beginnen met de eigenschappen van de verzameling. -- BenTels 6 feb 2006 13:25 (CET)

Te moeilijk aan het maken

Aangaande:

De eerste manier van voorstellen leent zich daar niet direct toe. Daarvoor moeten we bedenken dat het getal i geen reëel getal is en dus niet op de reële rechte ligt. Elk complex getal is een lineaire combinatie van de getallen 1 en i, zodat in termen van vectoren 1 en i een basis vormen van de complexe getallen. Van het getal a+bi zijn a en b de coordinaten ten opzichte van deze basis, waarmee we bij de hierboven genoemde voorstelling uitkomen. Daarbij is het gebruik om het getal 1 te identificeren met het punt (1,0) en het getal i met (0,1).

Waarom zijn jullie bezig om jezelf in allerlei bochten te wringen om niet i, 2i, 3i, etc. naast een as te hoeven zetten? Een as is niet iets met een echte betekenis, het is gewoon een referentie binnen een grafische weergave. Als je 5i naast een as zet, betekent dat niet dat je opeens van i een reëel getal hebt gemaakt. Bovendien zet je langs de verticale as niet de elementen van $\mathbb {R}$ uit, maar de elementen van $i\mathbb {R}$, wat niet hetzelfde is. Dus ik snap niet waarom jullie het jezelf zo moeilijk maken. -- BenTels 8 feb 2006 15:37 (CET)

Dit natuurlijk afgezien van het feit dat ${\underline {1}}$ en ${\underline {i}}$ niet vectoren zijn in $\mathbb {R} ^{2}$. -- BenTels 8 feb 2006 15:39 (CET)

DeMoivre

Ik denk dat de recente toevoeging over de stelling van DeMoivre niet in dit artikel thuishoort. De grens tussen wat wel direct samenhangt met het in het geding zijnde begrip en wat niet, is natuurlijk niet erg scherp, maar deze stelling zegt niet direct iets over wat een complex getal is en de stelling is ook al elders behandeld.Nijdam 24 feb 2006 13:21 (CET)

Tja, dit is weer dezelfde discussie: de toepassing van De Moivre zegt wel degelijk iets over het wezen van de complexe getallen en hoe men erover redeneert... Maar alleen als je niet weigert om de relatie tussen de complexe getallen en de goniometrie te erkennen. -- BenTels 25 feb 2006 19:46 (CET)

Ordening

"Intuïtief valt dit ook wel in te zien. Hoe zouden we namelijk een ordening definiëren op de complexe getallen?" -> zie het artikel

"Als we twee complexe getallen hebben $z_{0}=a+bi$ en $z_{1}=c+di$, met $a<c$ en $b<d$ kunnen we ons misschien nog wel voorstellen dat we kunnen zeggen $z_{0}<z_{1}$. Maar wat als $a<c$ en $b>d$? Welk getal zouden we dan het grootste moeten noemen?" -> c+di

"Bovendien hebben we gezien dat complexe getallen modulo 2π gelijk aan elkaar zijn." -> Ik heb dat nergens gezien.

"Als $z_{0}<z_{1}$, wat zeggen we dan als we bij het argument van $z_{0}$ een paar keer 2π optellen?" -> We zeggen niks, het getal verandert niet.

"Er is, kort en goed, geen logische of eenduidige manier om complexe getallen qua "grootte" met elkaar te vergelijken." -> Inderdaad niet als met grootte de absolute waarde bedoeld is. Nijdam 25 feb 2006 23:17 (CET)

Een lexicografische ordening? Waarom in godsnaam? Wie doet dat ooit? En hoe wil je die ordening laten werken over de polaire notatie heen (waar je tegen de vraag aanloopt hoe een dergelijke ordening zich verhoudt tot argumenten plus een aantal malen 2π)? -- BenTels 25 feb 2006 23:31 (CET)

BTW, Ik heb dat nergens gezien.: dat heb je wel. Het staat bij de uitleg van polaire notatie en het volgt ook gewoon uit de goniometrie. -- BenTels 25 feb 2006 23:41 (CET)

Ik heb de lexicografische ordening niet verzonnen. Die zul je in veel teksten over complexe getallen aantreffen. Ik Ben benieuwd hoe je zou aantonen dat a+bi=a+bi+2π? Je bedoelt vermoedelijk dat het argument niet eenduidig vastligt, maar dat is wel wat anders.Nijdam 25 feb 2006 23:49 (CET)

Ik heb de lexicografische ordening niet verzonnen.

Zucht. Ik zal wel weer eens nadenken over een tussentekst die alle vaagheden afdekt.

Je bedoelt vermoedelijk dat het argument niet eenduidig vastligt

Dat staat er toch ook! -- BenTels 25 feb 2006 23:53 (CET)

Ook zucht. BenTels: "Bovendien hebben we gezien dat complexe getallen modulo 2π gelijk aan elkaar zijn."Nijdam 26 feb 2006 00:01 (CET)

wat zeggen we dan als we bij het argument van $z_{0}$ een paar keer 2π optellen? -- BenTels 26 feb 2006 17:42 (CET)

voorstelling van een complex getal als een vector

Met een recente wijziging van BenTels ben ik het niet eens. En ik doel hier op het feit dat hij op diverse plaatsen een complex getal voorstelt als (a,bi). Ik dacht dat we daar reeds een discussie over achter de rug hadden. Maar kennelijk moet die nog een keer worden gevoerd. Welnu:

• complexe getallen kunnen (na een informele introductie) worden gedefinieerd als getallenparen (reële getallen!!) met een optelling en een (op het eerste gezicht wat vreemd uitziende) vermenigvuldiging
• een complex getal wordt dus niet voorgesteld als (a,bi) maar als (a,b) !!
• vervolgens wordt dan (1,0) geassocieerd met het getal $1\in \mathbb {C}$ en wordt (0,1) geassocieerd met het getal $i\in \mathbb {C}$; dus niet (0,i) maar (0,1); eerst moet immers de associatie worden gelegd alvorens men formeel in staat is om i te definiëren
• het imaginaire deel van een complex getal is zelf een reëel getal; men kan dit checken op een willekeurige buitenlandse wikipedia; dus beste mensen: Im(a+bi) is dus niet bi, maar gewoon b

Kunnen we het hier over eens worden en niet steeds opnieuw deze discussie hoeven te voeren? Kijk het anders zelf nog even na in een goed wiskundeboek!! Bij voorbaat vriendelijk dank, Bob.v.R 26 feb 2006 02:26 (CET)

Uit de Duitse Wikipedia: 'Komplexe Zahlen werden meist in der Form $a+b\cdot \mathrm {i}$ dargestellt, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist.' En: 'Man nennt $a$ den Realteil und $b$ den Imaginärteil von $a+b\,\mathrm {i}$.' Bob.v.R 26 feb 2006 02:35 (CET)

Uit de Engelse Wikipedia: 'In mathematics, a complex number is an expression of the form a + bi, where a and b are real numbers, and i stands for a new number with the property $i^{2}=-1\,$; in other words, i is a square root of −1. The real number a is called the real part of the complex number, and the real number b is the imaginary part.' Bob.v.R 26 feb 2006 02:38 (CET)

Uit de Franse Wikipedia: 'On peut ainsi écrire (a,b)= a + b × i.' En: 'Quand les nombres complexes sont écrits sous la forme $z=(a,b)=a+ib\,$, on parle de forme algébrique. Les nombres a et b sont des réels, alors que le symbole i est tel que $i=(0,1)\,$, ou $i^{2}=-1\,$.' Bob.v.R 26 feb 2006 02:57 (CET)

Jammer van alle energie die deze zich steeds herhalende discussie kost. Bob.v.R 26 feb 2006 02:57 (CET)

Misschien (hopelijk) ten overvloede: de zin 'Een complex getal z kan geschreven worden als z = (x,yi) = x*(1,0) + y*(0,i) = x + y i.' is dus fout, en de zinsnede 'en yi het imaginaire deel van z' is ook fout. Bob.v.R 26 feb 2006 03:03 (CET)

Alleen die laatste opmerking ben ik met je eens, maar zoals elders opgemerkt ben ik bereid ermee te leven. Belangrijker is dat de isomorfie met $\mathbb {R} ^{2}$ er weer niet goed in staat. -- 62.163.234.68 26 feb 2006 18:14 (CET)

Vectorruimte

Ik zie dat Nijdam mijn werk van gisteravond maar gewoon weer eens gerevert heeft. Mag ik vragen wat er nou zo godverdomde moeilijk aan is? Welk gedeelte van "vectorruimte" begrijp je niet?

Het huidige artikel zoals het er nu staat is wederom zo incompleet dat het gewoonweg verkeerd is. -- BenTels 26 feb 2006 17:50 (CET)

Vloeken maakt je positie er niet geloofwaardiger op, zeker niet als je het combineert met het continu aanbrengen van harde fouten. Ik vind dat geen manier van samenwerken. Bob.v.R 26 feb 2006 23:59 (CET)

Sjabloon laten staan

De juistheid van dit artikel wordt betwist; het sjabloon dus niet weghalen. -- BenTels 26 feb 2006 22:08 (CET)

Weet je BenTels, beter dan zo'n sjabloon te plaatsen, zou je hier kunnen aangeven wat je concreet (vooral concreet zijn) betwijfeld. Het ziet er echter naar uit dat je dingen niet wilt of mogelijk ook niet kunt begrijpen. Dan houdt discussie met jou op.Nijdam 26 feb 2006 22:58 (CET)

Hoe kan ik nou nog duidelijker zijn? Je haalt constant de uitleg over de isomorfie tussen $\mathbb {C}$ en $\mathbb {R} ^{2}$ weg waar heel de zaak op gebaseerd is. Om daarna te proberen op een moeilijk in elkaar gedraaide wijze toch tot hetzelfde resultaat te komen.

of mogelijk ook niet kunt begrijpen

Zeg, schiet eens een heel eind op. Ik ben academisch ingenieur in de informatica, ja. -- BenTels 26 feb 2006 23:30 (CET)

Gezien de diverse fouten die iedere keer opnieuw door BenTels worden toegevoegd, denk ik dat we op deze manier toegaan naar een situatie van toenemende irritatie. Ik begin me in ieder geval behoorlijk aan de continue toevoer van fouten en onnauwkeurigheden te ergeren, en het gevloek waarmee BenTels mee aankomt bevalt me ook niet. Wellicht heeft hij meer verstand van informatica? Prima. Niemand hoeft per se overal verstand van te hebben.

$\mathbb {C}$ en $\mathbb {R} ^{2}$ zijn niet isomorf, want in $\mathbb {R} ^{2}$ is helemaal geen vermenigvuldiging gedefinieerd. Bob.v.R 27 feb 2006 00:04 (CET)

Isomorfie impliceert enkel dat er een bijectief verband bestaat tussen beide verzamelingen, en die is er duidelijk wel:$a+b.i<->(a,b)$. Bovendien is het perfect mogelijk om een vermenigvuldigingsrelatie te definieren op $\mathbb {R} ^{2}$. De complexe getallen geven een manier aan om dat te doen.

Let wel: mijn opmerking betekent niet dat ik BenTels' visie verdedig. Ik zie inderdaad helemaal niet in waar dit artikel twijfelachtig zou zijn. Ik heb enkele van zijn wijzigingen bekeken en kan me helemaal niet vinden in een notatie als $(a,b.i)$. Het koppel coordinaten is per definitie eendimensionaal en kan dus nooit die imaginaire factor bevatten, want dat zou betekenen dan je waarden kan maken als $(1,2+3i)$ wat totaal uit den boze is. De verzamelingen $\mathbb {C}$ en $\mathbb {R} ^{2}$ zijn dus wel isomorf, maar het imaginaire getal hoort volgens mij nooit in een ordinaatgetal voor te komen. --Xaviervd 27 feb 2006 01:35 (CET)

Er is een isomorfisme tussen V en W als er een bijectie tussen de verzamelingen bestaat, die ook de bewerking(en) intact laat. Dus dan is het m.i. zo dat $\mathbb {C}$ en $\mathbb {R} ^{2}$ op zichzelf niet met elkaar isomorf zijn, maar wel als isomorf mogen worden beschouwd als aan de verzameling $\mathbb {R} ^{2}$ wordt toegevoegd de in het artikel beschreven vermenigvuldiging. Ben je het hiermee eens, Xaviervd? Bob.v.R 27 feb 2006 02:05 (CET)

Ik heb [...] boze is.

Wellicht een verschil in aangeleerde notaties (zeer wel mogelijk, aangezien dergelijke verschillen al bestaan tussen individuele hoogleraren). Mij is aangeleerd dat als $(a,b)\in A\times B$ dat begrepen hoort te worden als $a\in A\wedge b\in B$. Op grond daarvan zou dan gelden $(1,2+3i)\not \in \mathbb {C}$.

Er is [...] intact laat.

Bij de behandeling van de algebra destijds werd ons geleerd dat je morfismen kunt definiëren op allerlei structuren: simpele structuren, monoïden, groepen, ringen, idealen, enzovoorts. Waarbij voor al deze dingen geldt dat ze bestaan uit een verzameling met een aantal zaken eraan toegevoegd (een operatie of twee, eenheidselement, inverse operatie). En een morfisme van (bijvoorbeeld) een morfisme naar een morfisme dient inderdaad de operatie en eeinheid in stand te houden, maar hoeft zich er niets van aan te trekken als een van de morfismen toevallig ook een groep is. Het is dus maar net waar je naar kijkt.

Wellicht heeft hij meer verstand van informatica?

Ik weet niet hoe jij dat geleerd hebt, maar bij ons is informatica nog altijd een tak van de wiskunde. -- BenTels 28 feb 2006 20:21 (CET)

En een morfisme van (bijvoorbeeld) een morfisme naar een morfisme dient inderdaad de operatie en eeinheid in stand te houden, maar hoeft zich er niets van aan te trekken als een van de morfismen toevallig ook een groep is.

Het bovenstaande is een product van teveel haast. Hier moet staan En een morfisme van (bijvoorbeeld) een monoïde naar een monoïde dient inderdaad de operatie en eenheid in stand te houden, maar hoeft zich er niets van aan te trekken als op de verzameling van een van de monoïden toevallig ook een groep gedefinieerd is. -- BenTels 1 mrt 2006 08:12 (CET)

Ongelofelijk

De verzameling is, na uitbreiding met de hierboven gedefinieerde vermenigvuldiging, isomorf met de verzameling \mathbb{C}. Deze constructie levert een meetkundige voorstelling van de complexe getallen op, Arganddiagram genoemd, in 1806 bedacht door de Zwitserse amateur wiskundige Jean-Robert Argand.

Ongelofelijk. Hij heeft hem eindelijk door. Heeft maar een jaar geduurd en het rammelt qua uitdrukkingswijze nog een beetje, maar toch. -- BenTels 3 mrt 2006 23:40 (CET)

Twee dingen

1. Vaak wordt gezegd dat het symbool i vooral gebruikt wordt om het reële en het imaginaire deel van een complex getal uit elkaar te houden. In dat geval is i dus geen getal. Probleem opgelost. Overigens kun je beter definiëren wat de verzameling van de complexe getallen is: een verzameling geordende paren van reële getallen met daarin een optelling en een vermenigvuldiging. Nu blijft de tekst wat zweverig.

2. Het is wel gek dat aan het begin staat dat complexe getallen werden ingevoerd om voor alle vergelijkingen oplossingen toe te laten, ook voor x^2 = -1. Lijkt me van niet. Niemand zat daar namelijk in de tijd van Bombelli op te wachten. Negatieve getallen waren al erg genoeg. Wortels uit negatieve getallen? Helemaal te gek. Bombelli begon eraan omdat hij, ongetwijfeld tot zijn grote ergernis en verbazing, merkte dat de formule om derdegraadsvergelijkingen op te lossen een uitkomst opleverde met wortels uit negatieve getallen voor een vergelijking die duidelijk een reële oplossing had. We hebben het dan over de vergelijking (zie History of mathematics van Boyer) x^3 - 15x - 4 = 0 met de reële oplossing x = 4.Floris V 6 mrt 2006 21:20 (CET) (Kleine aanvulling op punt 1)Floris V 6 mrt 2006 21:53 (CET) Ik voeg er nog een puntje aan toe: volgens mij worden bij de notatie met poolcoördinaten de benamingen voerstraal en poolhoek niet gebruikt in de context van complexe getallen.Floris V 7 mrt 2006 00:14 (CET)

Vaak wordt gezegd dat het symbool i vooral gebruikt wordt om het reële en het imaginaire deel van een complex getal uit elkaar te houden. In dat geval is i dus geen getal. Probleem opgelost.

Is een oplossing, maar wel een problematische. Vooral met betrekking tot de vermenigvuldiging.

Overigens kun je beter definiëren wat de verzameling van de complexe getallen is: een verzameling geordende paren van reële getallen met daarin een optelling en een vermenigvuldiging.

Op grote lijnen ben ik dat met je eens. Veel succes bij het overtuigen van de andere "auteurs". -- BenTels 8 mrt 2006 20:53 (CET)

Complexe getallen

Lap, dit lijkt me weer een pagina waar ik liever niet op gestoten was, want dit kan weer tijdverlies betekenen :-) Voor wat het waard is, ik heb in definities van getallen als paren vooral notaties van de vorm (1,2) gezien, niet (1,2i), voor zover ik kan herinneren, zoals Nijdam en Bob hierbove ook bevestigen. Misschien wordt het weer eens tijd om wat boeken en cursussen erbij te halen en in te scannen ;-) Succes nog met dit artikel, het zal nodig zijn precies ;-) --LimoWreck 9 mrt 2006 23:14 (CET)

Die notatie is ook wel verdedigbaar, als je er maar bij vertelt waarom. maar goed, ik bemoei me er niet meer mee. Er zijn twee personen die vinden dat ik ongelijk heb en hoe je het ook wendt of keert, twee kunnen sneller reverten dan een kan schrijven. Dan moet het maar zoals zij het willen. -- BenTels 10 mrt 2006 09:22 (CET)

Limowreck, inderdaad komt een notatie zoals (1, 2i) niet voor. Immers, bij het werken met coördinaten worden eerst de reële getallenparen gedefinieerd, met een optelling en een heel specifieke vermenigvuldiging. Pas nadat dit opgebouwd is, kan ik vervolgens zeggen wat nu eigenlijk i is; namelijk i wordt dan vastgelegd door het getallenpaar (0, 1). Zie behalve de Nederlandstalige pagina overigens ook de Engelse, Franse, Duitse, Italiaanse, Spaanse, Zweedse en Turkse versie van de pagina. Groeten, Bob.v.R 10 mrt 2006 11:42 (CET)

En zie overigens ook mijn eigen bijdrage hierboven van 26 feb 2006 02:26 (CET). Bob.v.R 10 mrt 2006 11:47 (CET)

Als i vastgelegd wordt door een getallenpaar, kan verder nooit gelden dat i*i = -1. En bovendien valt met die identiteit ook je hele definitie van vermenigvuldiging uit elkaar. Het definiëren van i als een naam voor een vast punt in $R^{2}$ is totale flauwekul. En de enige, andere taal die iets dergelijks doet is Frans en daar hebben ze nog het goede fatsoen om het te doen in een aparte vectornotatie ter onderscheid met het getal en erbij te vermelden dat het iets is dat ze ter plaatse verzinnen ter verduidelijking. -- BenTels 10 mrt 2006 12:08 (CET)

Ik zie het probleem niet, als je goed vastlegt wat je bedoelt dan kan i² = -1 binnen deze werkwijze ook. Zoals gezegd introduceer je de complexe getallen eerst als geordende paren van twee reële getallen, met daarop een optelling en vermenigvuldiging gedefinieerd. Aan de hand van die definities kan je nagaan dat het complexe getal (a,0) zich gedraagt zoals het reële getal a, dat is een identificatie die je maakt. Bovendien merk je op basis van die definities op dat (0,1)*(0,1) = (-1,0), hetgeen op basis van onze eerdere identificatie overeenkomt met het reële getal -1. Je voert dan de volgende definitie in (kwestie van notatie!) i = (0,1)
Langs deze weg kan je de complexe getallen op een rigoureuze manier wiskundig invoeren en bestaat er geen dubbelzinnigheid over i, die je wel kan hebben wanneer je i definieert als sqrt(-1) of i² = -1. Wanneer je de complexe getallen dan gaat voorstellen als a+bi ipv (a,b) en in deze vorm gaat optellen en vermenigvuldigen (rekening houdend met i² = -1), dan zal je merken dat het volledig consistent is met de manier waarop de complexe getallen eerst werden ingevoerd, als geordende paren dus. TD 10 mrt 2006 12:36 (CET)

Goed, dat kan. Ik weet niet of het nou helemaal een idee is om voor Wikipedia een andere opvatting van de complexe getallen in te voeren dan bijvoorbeeld aan de universiteiten gedoceerd wordt alleen maar om Bob gelijk te kunnen geven, maar het kan inderdaad wel. Merk voor de goede orde (en voor het onderscheid met wat hiervoor kwam) op dat het wel kan zoals jij het uitlegt. -- BenTels 10 mrt 2006 13:27 (CET)

Ik wou enkel tonen dat het op deze manier kan, het hoeft daarom nog niet de methode te zijn die we gebruiken voor een online encyclopedie... Om nog even terug te komen op wat je nu zei: hoe ik het net (weliswaar beknopt) heb uitgelegd is ook hoe ik het aan de universiteit gezien heb. TD 10 mrt 2006 13:37 (CET)

Okee. Ik niet (bij mij werd i behandeld als een uitbreiding op de reële getallen en $\mathbb {C}$ als de benaming voor $\mathbb {R} \times \mathbb {R} i$), maar goed. Het kan in ieder geval wel. Sluit ook aan bij wat ik ooit voorgesteld had: beginnen bij het definiëren van de verzameling, inclusief het (groeps)morfisme met $R^{2}$ en alle eigenschappen daaruit laten volgen. Alleen begin jij dan echt direct met het morfisme en volgt alles verder daaruit. "Werkt" ook, al is het een andere manier van kijken naar i. Alleen vermoed ik dat ook deze aanpak wel verboten en sperrgebiet zal zijn bij deze en gene omdat je sterk leunt op morfismen om de eigenschappen van $\mathbb {C}$ vast te leggen. -- BenTels 10 mrt 2006 19:33 (CET)

Hoe het ook zij, het artikel heeft bewerking nodig. Het begin is een zootje met veel van wat een mijner docenten "handenwapperen" placht te noemen en het einde (onder de kop "Toepassingen") gaat nergens over. Maar ik ga het in ieder geval niet doen — verspilde moeite zolang een zeker persoon mag reverten. -- BenTels 10 mrt 2006 19:54 (CET)

mjah, je notatie die jij aanhaalt lijkt me nogal vreemd, maar dat de inleiding wringt en kraakt aan alle kanten klopt wel... een stukje onnauwkeurige vreemde proza .. het lijkt uit die inleiding alsof de verzameling C = de verzameling R met 1 elementje, namelijk i, erbij, en draait nogal om de pot; ipv gewoon te zeggen wat een complex getal is... zoals in de duidelijke maar toch eenvoudige inleidingen in de Engelse, Duitse en Franse wiki's... als iemand in form is om even in de pen te kruipen, ga zeker uw gang :-) --LimoWreck 10 mrt 2006 20:23 (CET)

Die notatie past bij de opvatting dat een geordend paar een element is van een verzameling die het cartesisch product is van twee verzamelingen. Zogezijd, als je verzameling $A\times B$ is, dan zijn de elementen van die verzameling $(a,b)$ met $a\in A\wedge b\in B$. En $\mathbb {R} i$ is een bijzondere ondergroep van $\mathbb {R}$ die mogelijk wordt als je i beschouwt als een uitbreiding van $\mathbb {R}$. Verder kom je op hetzelfde idee uit. -- BenTels 11 mrt 2006 14:17 (CET)

Ik heb er ook nog eens mijn oude cursussen opgediept. Algebra had een enkele pagina's in Appendix staan, Analyse had in het inleiding hoofdstuk 1 bladzijde waarin de complexe getallen gedefinieerd staan... dus veel werk is het in feite niet ;-)

Beide definieren ze simpelweg als een koppel (a,b) (merk op, dat is slechts een notatie hé, schrijf het gerust anders), waarin a en b reëel zijn; met daarop de eigenschap van identiteit tussen 2 getallen, som van 2 getallen en product van 2 getallen gedefinieerd (zoals ze in het artikel staan). C'est tout... koppels waar die 3 definities gelden zijn een complexe getallen. De ene cursus vermeldt het bijectief verband tussen deze getallen en het cartesisch vlak. Merk op: men vertelt enkel over het verband tussen de elementen/punten, men zegt niets over bewerkingen. Maakt het dus mogelijk ze grafisch voor te stellen, en ook poolvoorstelling te geven, etc... etc... etc...

Voor het verband met reëele getallen en i : men voert gewoon per definitie als notatie in: (a,0) = a en (0,1) = i. Met de simpele rekenregels die de complexe getallen juist definiëren heb je dan (a,b) = (a,0) + (b,0) (0,1) = a + b i.

En als je voortaan alle reële getallen a als (a,0) definieert kan je R zien als deelveld van C, of hoe stond het er geformuleerd.

Dus waarom al die miserie  ? :-) --LimoWreck 11 mrt 2006 15:59 (CET)

En waarom kan i*i =-1 niet zoals sommigen hierboven zeggen ?

De vermenigvuldiging is toch per definitie van de vorm (a,b) * (c,d) = (ac - bd, ad + bc) ? Dus (0,1) * (0,1) = (-1,0) , het staat er simpelweg toch goed in ???? Wat "klopt" er nu eigenlijk niet aan het artikel ? Op een wat onduidelijk taalgebruik soms lijkt de inhoud toch wel goed ? --LimoWreck 11 mrt 2006 16:08 (CET)

De definities van vermenigvuldiging en andere operaties kloppen ook wel. Zou ook mooi zijn als het niet zo was (als ik me goed herinner, heb ik een groot gedeelte van dat stuk zelf getikt). Maar dat is alleen maar de definitie van de operaties op de complexe getallen. Het waarom ervan, waarom de definities zinnig zijn en waarom de complexe getallen de eigenschappen hebben die ze hebben, staat er nauwelijks in. Het idee dat er enig verband is met de vectorruimte $\mathbb {R} ^{2}$ is tot zeer kort geleden door een aantal personen hardnekkig uit het artikel geweerd. Dat dat verband ook weer een verband met de goniometrie met zich meebrengt dat op zich weer verklaart waarom bepaalde rekenregels zinnig zijn en ook consistent met de definitie van de complexe getallen als een cartesisch product van twee verzamelingen, wordt nog altijd onder het tapijt geveegd.

Mijn bezwaar tegen het artikel (afgezien van de krukkerigheid van het einde en het gedraai in de inleiding) is dat het wiskunde voor de middelbare is en niet voor de universiteit. Dat wil zeggen: de feitelijkheden staan er wel, maar het inzicht ontbreekt. -- BenTels 11 mrt 2006 16:56 (CET)

Het artikel en de discussie eromheen doen sectarisch aan. "Wat bij de mensen onmogelijk is, is mogelijk in de hogere wiskunde." "Geloof in de wortel uit min een en u zult behouden worden." Tenenkrommend. Floris V 28 mrt 2006 13:03 (CEST)

wortel-rekenregels

De volgende bewering:

Merk op dat de bekende rekenregels niet gelden voor complexe wortels. Zo geldt niet :${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}$.

... zou best bewezen mogen worden met een voorbeeld, een tegenvoorbeeld van de omgekeerde bewering dus. Maar ik vermoed dat zo'n (tegen)voorbeeld niet bestaat. sqrt(-1)*sqrt(-1)=sqrt(1) klopt bijvoorbeeld als een bus (let op: twee mogelijke oplossingen per wortel!) Koenb 14 jul 2006 20:15 (CEST)

Zie de vraag die ik stelde op Overleg:Imaginaire eenheid.

Bob.v.R 14 jul 2006 23:04 (CEST)

Inleiding

Niemand leek erg blij met de inleiding, en dus heb ik de stoute schoenen maar eens aangetrokken en 'm aanzienlijk vereenvoudigd. Ook andere paragrafen aan het begin moesten eraan geloven. Het verhaal als geheel bevat nog steeds vrij veel herhalingen en is eigenlijk nog wat rommelig, maar dat komt ook doordat het zo lang is. Ben benieuwd hoe mijn wiedwerk in de smaak valt. Koenb 14 jul 2006 21:59 (CEST)

Ik constateer dat Gebruiker:Nijdam geen van mijn aanpassingen goed vond. Koenb 15 jul 2006 09:19 (CEST)

Kokervisie

Het lijkt erop dat een bepaald duo deze pagina als een eigen projectje beschouwt, waarvoor anderen uitsluitend suggesties mogen aanreiken. Dat gaat iriteren, wat mij betreft vooral omdat de boodschap dat op het complexe domein -1 twee vierkantswortels heeft maar niet wil landen. Men wringt zich in een rare bocht om het gewenste antwoord te krijgen:

Zijn we geïnteresseerd in een unieke oplossing voor de wortelfunctie, dan kunnen we die waarde kiezen die gebaseerd is op de hoofdwaarde van arg(z) en daar weer de hoodfwaarde van nemen. In het bijzonder vinden we zo als unieke wortel voor -1 de waarde i.

Dat 'redt' de heren dan wel met de tweedemachtswortel van -1, maar bij de derdemachtswortel leidt dit recept tot ongetwijfeld ongewenste resultaten: de 'hoofdwaarde van $arg-1$' is immers $\pi$, 'de' derdemachtswortel van -1 is dan $\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\ i\right)^{3}$ ?!

De conclusie die koppig wordt vermeden (en 'waar nodig' gerevert) is dat -1 op het reële domein nul wortels heeft maar op het complexe domein twee: i en -i. Als je dat nou eens laat staan, dan wordt voor iedereen begrijpelijk waarom i als 'de' wortel van -1 een foute notie is. Koenb 16 jul 2006 09:04 (CEST)

Bij een hoofdwaarde $\pi$ lijkt mij dat de derdemachtswortel van -1 gelijk is aan $\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\ i\right)$.

Wat betreft bijdragen aan deze pagina: bij dit soort pagina's is er een serieus risico dat de kwaliteit van een pagina gaat afbrokkelen als de bijdragen niet voldoende doordacht zijn. Dat Nijdam daar bezorgd over is begrijp ik wel. Dat betekent natuurlijk ook weer niet dat er 'blind' moet worden gerevert, maar ik ga ervan uit dat Nijdam dat ook niet doet. Bob.v.R 16 jul 2006 09:30 (CEST)

Over die hoofdwaarde heb je gelijk - dat verdraaide kopieer-en-plak ook ... :) Koenb 16 jul 2006 13:16 (CEST)

Inleiding

De inleiding van dit artikel is op dit moment een nogal taaie verhandeling over de geschiedenis en de 'raison d'être' van de complexe getallen. De volgende paragraaf, Definitie, geeft meteen aan waar het om gaat. Moeten deze paragrafen niet verwisseld worden? Koenb 18 jul 2006 22:32 (CEST)

Misschien heel kort (enkele zinnetjes slechts) zeggen "wat" zo'n complex getal is, zoals in een van je gereverte edits ? Maar dan meteen met de puur wiskundige definitie afkomen zou ik enigszins vermijden. Het is ahw een soort "overzichtsartikel" waar een hele theorie achter schuilt, en die meer gesitueerd wordt en begrijpbaar zal zijn voor een +/- leek (met wel wat begrip van wiskunde normaalgezien) denk ik als het wat ingekleed wordt ? --LimoWreck 18 jul 2006 22:51 (CEST)

Ik sluit me aan bij de mening van Floris V in de kroeg. Een inleiding in de trant van 'complexe getallen zijn ontstaan uit de behoefte...' is van tenenkrommend Kijk-niveau en ik snap ook niet waarom m.n. Nijdam zonder verdere uitleg telkens de huidige, op zich ook niet helemaal verkeerde inleiding blijft terugplaatsen (editwar). Het is volkomen logisch om in een encyclopedie te beginnen met de definitie en door te verwijzen naar een voor leken begrijpelijkere rationale achter de theorie. --Stonehead 22 jul 2006

Bijna nog erger dan het tenenkrommende taalgebruik is dat het niet eens waar is wat daar wordt beweerd. In elk boek over de getalverzamelingen wordt wel beweerd dat het niet bestaan van oplossingen van een vergelijking als x^2 + 1 = 0 binnen R een eerste aanleiding is om de reële getallen uit te breiden maar dat is gewoon wijsheid achteraf. De echte reden dat men zich ooit met complexe getallen is gaan inlaten is dat die complexe getallen opdoken in de formule die de oplossingen geeft van derdegraadsvergelijkingen, en derdegraadsvergelijkingen hebben altijd ten minste één reële oplossing. Dus was de som van twee derdemachtswortels uit de som van een wortel uit een negatief getal en een gewoon getal blijkbaar toch een reëel getal. Een hele kluif voor mensen die nog maar net begonnen te wennen aan het concept van negatieve getallen überhaupt. Floris V 26 jul 2006 01:25 (CEST)

Aanvulling: de nieuwe opzet is nog erger dan de oude tekst. Floris V 26 jul 2006 01:33 (CEST)

Getallenparen

Door Floris is gesteld dat $\mathbb {C}$ bestaat uit getallenparen, en dat daarom een element van $\mathbb {R}$ geen element van $\mathbb {C}$ is.
Ik denk dat Floris daar gelijk in heeft; zie bijvoorbeeld het huidige artikel waarin terecht wordt opgemerkt dat een element van $\mathbb {C}$ een getallenpaar is.
Wel is $\mathbb {R}$ isomorf met $\{z\in \mathbb {C} |z=a+ib;b=0\}$. Maar isomorfie is niet hetzelfde als identiek zijn. Bob.v.R 22 jul 2006 14:13 (CEST)

Door Koenb wordt gesteld dat in alle serieuze publicaties staat dat $\mathbb {R}$ een deelverzameling van $\mathbb {C}$. Ik denk dat Koenb daar gelijk in heeft, en zal proberen de tekst zodanig aan te passen dat recht gedaan wordt aan zowel de opmerking van Floris als aan die van Koenb. Bob.v.R 22 jul 2006 14:26 (CEST)

Ik denk dat Floris gewoon ongelijk heeft, om een aantal redenen:

Isomorfie betekent: dezelfde vorm. Maar de deelverzameling van C met als eis dat het imaginaire deel 0 is heeft niet (alleen) dezelfde vorm, die heeft dezelfde inhoud als R.

Je kunt elementen uit C wel opvatten als getallenparen, maar evengoed als sommen van getallen - zo wordt het nota bene ook genoteerd: a+bi. Elke som is (ook) een getal. Je wilt toch niet beweren dat het getallenpaar 1+1 geen onderdeel uitmaakt van R, omdat je het als een getallenpaar kunt zien? Neem bijvoorbeeld de verzameling Fruitmanden waar manden met n appels en m peren deel van uitmaken, dan is een mand met 0 appels en m peren element van de verzameling Perenmanden; Perenmanden is een deelverzameling Fruitmanden.

Koenb 22 jul 2006 14:54 (CEST)

Mijn argumenten worden schijnbaar niet gelezen, want de onvermijdelijke conclusie dat R een deelverzameling is van C wordt in het artikel nu weer glashard ontkend. Hoe kan dat nou toch? Moet ik dan met formalistische uitdrukkingen op de proppen komen om praktisch triviale punten te maken? Nog een keertje dan, voor de hardleersen:

Alle elementen van C zijn de som van een reëel getal en een tweede reële getal vermenigvuldigd met de imaginaire eenheid i. Voor alle elementen uit C waarvoor geldt dat het tweede reële getal nul is, is de som gelijk aan het eerste reële getal. Aangezien het eerste reële getal een van alle elementen uit R kan zijn, bevat de geschetste deelverzameling uit C alle getallen uit R. Deze deelverzameling is dus gelijk aan R, daarmee is R een deelverzameling van C.

Koenb 22 jul 2006 16:25 (CEST)

Koen, de toonhoogte van dit overlegcommentaar lijkt me niet zo passend. Laten we sowieso proberen het overleg inhoudelijk te houden. Wat betreft de inhoud het volgende. De imaginaire eenheid is gedefinieerd volgens $i^{2}=1$, maar eigenlijk 'bestaat' hij natuurlijk niet. Om kip-ei discussies met betrekking tot imaginaire zaken te omzeilen heeft men de complexe getallen ingevoerd als getallenparen, waarop een optelling en een vermenigvuldiging gedefinieerd zijn. Formeel is een complex getal dus een getallenpaar. Dat er vervolgens wel isomorfismen zijn is waar, en ik heb nu juist getracht die ook zorgvuldig in het artikel op te nemen, rekening houdend met terechte opmerkingen van zowel Floris als jou. Ik heb dus wel degelijk getracht jouw input in mijn edits te verwerken. Groeten, Bob.v.R 22 jul 2006 16:57 (CEST)

Goh, wat ben ik je daarvoor dankbaar, en met mij de hele wiskundige wereld. Er staat nu tenminste in een en dezelfde paragraaf:

De verzameling R heeft formeel geen relatie met C ...

... waarna R als een deelverzameling van C mag worden gezien ...

... in feite is echter R isomorf met een deelverzameling van C.

Jouw edits hebben gelukkig geleid tot deze glasheldere compilatie, waar het simplistische R is een deelverzameling van C niet tegenop kan! De volstrekt heterodoxe maar niettemin terechte opmerkingen van Floris V hebben er de plaats gekregen die ze verdienen, want er moet niet de indruk ontstaan dat C en R een relatie met elkaar hebben die zelfs leken kunnen begrijpen. Volkomen terecht dat je de waas van geheimzinnigheid weigert te laten optrekken. Toch fijn dat jij het hoofdredacteurschap van dit artikel op je genomen hebt. Koenb 22 jul 2006 18:13 (CEST)

Ik zou denken dat $\{a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} |z=a+ib\land b=0\}=\{a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} |z=a\}=\mathbb {R} .$ ongeacht of er alternatieve notatiewijzen zijn voor complexe getallen. Flyingbird 22 jul 2006 18:23 (CEST)

Koen, als het gaat om de derdemachtswortel, dan doe je fanatieke pogingen om de argeloze lezer lastig te vallen met complexe getallen en met de hoofdstelling van de algebra, terwijl je bij dit artikel juist de zaken weer even zo fanatiek wil versimpelen. Welke kant wil je nu op?

Wat de teksten betreft: ik ben erg voor overleg, maar dan zonder ironie graag. Bob.v.R 22 jul 2006 18:43 (CEST)

Ja, gewoon de discussie zakelijk houden graag. Flyingbird 22 jul 2006 18:55 (CEST)

Ik heb het nog eens nagezocht in wat oude wiskundeboeken van me: de Inleiding tot de algebra van dr. Loonstra uit 1979 en Analyse 1 van Meulenbeld en Grootendorst, 7e druk 1980. Loonstra voert de complexe getallen formeel in als geordende paren van reële getallen en stelt dan dat je een complex getal (x, 0) kunt identificeren met het reële getal x, zodat R isomorf is ingebed in C. Dat is toch wat anders dan zeggen dat R een deelverzameling van C is. Meulenbeld en Grootendorst voeren de complexe getallen in als vectoren en stellen de kwestie over de relatie tussen R en C maar helemaal niet aan de orde. Het is duidelijk dat als een complex getal een vector is, R geen deelverzameling kan zijn van C. Anders kun je ook gaan beweren dat de verzameling 2x2-matrices een deelverzameling is van de verzameling 3x3-matrices.

Maar dat is de theorie. Limieten worden traditioneel ingevoerd met delta-epsilonredeneringen en veel moeilijk gedoe, maar als je een limiet uitrekent laat je al dat verbale geweld voor wat het is en pas je een heuristiek toe die geschikt is voor het probleem, epsilon en delta maken daar zelden deel van uit. Net zo kun je in de praktijk doen alsof R een deelverzameling van C is; vanwege de isomorfie leidt dat niet tot problemen. (Maar omdat C gesloten is voor de vermenigvuldiging is i^2 een complex getal, waarvan alleen het imaginaire deel 0 is. Om die reden is het fout om te zeggen dat i^2 gelijk is aan het reële getal -1; je vergelijkt dan appels met peren. En daarvan heb ik op de lagere school geleerd dat het fout is.)

In de tekst kun je dat opvangen door in "waarna $\mathbb {R}$ als een deelverzameling van $\mathbb {C}$ mag worden gezien" "mag worden gezien" te veranderen in "wordt behandeld". Floris V 22 jul 2006 20:05 (CEST)

Ik heb er ook maar eens wat boeken op nageslagen, en ben het (nu) wel ongeveer met je eens. $\mathbb {C} _{0}$ heet isomorf met $\mathbb {R}$, en in dit geval wordt er geen onderscheid gemaakt tussen de elementen van $\mathbb {C} _{0}$ en $\mathbb {R}$. Dat is niet helemaal hetzelfde als de bewering dat elementen van $\mathbb {C} _{0}$ gelijk zijn aan die van $\mathbb {R}$, dus formeel heb je wel gelijk, maar ik zie werkelijk het verschil niet (en gezien de publicaties veel anderen ook niet). Koenb 22 jul 2006 22:16 (CEST)

Het is ook nogal een subtiele zaak, maar subtiel of niet, fout is gewoon fout. En daar is niets subtiels aan. Je kunt aan flinke stukken van dit artikel merken wat er gebeurt als mensen dat verschil niet zien. (-:

"Een complex getal is een getal dat in feite bestaat uit twee reële getallen. (Denk aan een breuk, die ook uit twee (gehele) getallen bestaat, teller en noemer.) Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a + bi, waarin a en b de beide reële getallen zijn en i een nieuw getal voorstelt, de imaginaire eenheid, met de eigenschap (rekenregel):

\,i^2=-1. "

"Het complexe getal a+bi bestaat uit twee delen: een reëel getal a en een zuiver imaginair deel bi. Het deel a wordt het reële deel genoemd, maar alleen het getal b en niet het deel bi wordt imaginair deel genoemd. In de voorstelling als getallenpaar zijn de getallen a en b de beide componenten van het paar, maar worden toch aangeduid als reëel en imaginair deel."

Commentaar overbodig. Machteloos gedoe. i^2=-1 is een rekenregel of vereenvoudigingsregel. Als je b.v. (1 + 2i)(3-7i) moet uitrekenen, krijg je 3 - 7i + 6i - 14i^2 en dat vereenvoudig je dan tot 3 + 14 - i. Maar er is een wereld van verschil tussen de vereenvoudigingsregel i^2 = -1 in berekeningen en i^2 = -1 in de betekenis dat er een complex getal is waarvan het kwadraat een negatief reëel getal is - dat is gezwets van de "i-sekte". Zoiets als het verschil tussen een objectdefinitie en een instantie van dat object in een computerprogramma (maar ik beweer niet dat de verschillen isomorf zijn!!!) Floris V 22 jul 2006 22:35 (CEST)

Het wordt wel eenstuk duidelijker als je overstapt op de "haakjesnotatie": dan krijg je (0, 1)^2 = (-1, 0) en je moet wel erg fanatiek zijn als je vol wil houden dat (-1, 0) een reëel getal is.

Dan wil ik nog wat onduidelijkheden rechtzetten. Allereerst is de "som" a + bi niet een gewone optelling. Dat is gewoon wat wel de "additieve notatie" van complexe getallen genoemd wordt. Ik denk dat dar de bron van de verwarring zit. De wiskundige taal is zogenaamd niet zo dubbelziinnig als de gewone taal. Nou, hier zie je hoe onwaar dat is. Je kunt ter vergelijking denken aan het carthesisch product van verzamelingen. RxR is niet de verzameling {xy | x in R en y in R} maar de verzameling ((x, y) | x, y in R}. De additieve notatie is veel makkelijker te schrijven dan de notatie met haakjes, en je kunt er prima mee rekenen, maar wie niet goed oplet kan er de onjuiste indruk van krijgen dat de + in 1 + 2i hetzelfde betekent als in 1 + 2. En dat is niet zo. Aan de haakjesnotatie zie je dat het symbool i geheel overbodig is, je gebruikt het bij de additieve notatie alleen om het reële en imaginaire deel van een complex getal uit elkaar te houden. Je zou kunnen zeggen dat de + en de i in de additieve notatie de rol van de komma in de haakjesnotatie vervullen.

De groep <R, +> is isomorf met de groep rotaties om de oorsprong onder de samenstelling (bewijs: zelf doen) maar is een reëel getal daarom een rotatie? Floris V 23 jul 2006 08:43 (CEST)

Ik kan je verhaal niet helemaal volgen, Floris, en zonder ironie zoek ik de oorzaak daarvan bij mezelf, maar toch ben ik zo vrij het weer niet helemaal met je eens te zijn.

a+bi is een schrijfwijze die geen problemen geeft, omdat i geen reëel getal is en we de 'som' dus niet kunnen uitrekenen. Het reële deel en het imaginaire deel blijven onverenigbaar naast elkaar staan. Maar als je er een getallenpaar (a;b) van maakt suggereer je lidmaatschap van RxR, en dan wordt het oppassen geblazen. Als je even buiten beschouwing laat dat b een scalar voor i is, kun je geneigd zijn te beweren dat (a;0) zoiets is als een vector in een tweedimensionale ruimte en dus niet gelijk is aan de scalar a. Maar dat is de 'schuld' van degene die (a;b) schreef in plaats van a+bi. In de notatie a+bi heb je dat pobleem namelijk niet: na wegvallen van het tweede deel kun je de som ineens wel uitrekenen en staat er gewoon a, wat precies gelijk is aan a.

De hele controverse lijkt op de beschouwing van koffie met melk. Moeten we koffie met melk zien als een mengsel, zodat koffie met 0 ml melk hetzelfde is als zwarte koffie, of moeten we zeggen dat koffie met melk een ingrediëntenpaar (koffie; melk) is, waarbij (koffie; geen melk) weliswaar isomorf is met zwarte koffie, maar niet hetzelfde? Ik kies voor de eerste benadering, de tweede vind ik kunstmatig, en leidt tot moeilijk te begrijpen uitspraken.

Koenb 23 jul 2006 19:34 (CEST)

Ik vermoed dat je de hobbel van de verkeerde kant benadert en dat je er daarom niet overheen komt. Hou niet te vast aan je oude inzicht maar laat je verrassen. Het komt wel. Durf die sprong te maken. Floris V 23 jul 2006 22:58 (CEST)

Misschien moeten we het vergelijken met een peper-en-zoutstelletje? Als de peper op is, dan is nog steeds het pepervaatje aanwezig. Bob.v.R 24 jul 2006 01:02 (CEST)

Aww, lange discussie voor een pietluttigheid weeral. Ten tijde van de middelbare school plakte men er gewoon termen op als R is een deelverzameling van C alleszins. In latere studies is men dat wat rigoureuzer gaan behandelen; en wat voor "deelverzamelingen"-bewoording men nu juist gebruikt tussen de velden van de reële en complexe getallen, ik zou het ook niet meer weten. Misschien was het zelfs niet overal gelijk ;-) Kan ik ooit eens opzoeken als ik er aan denk... of misschien best niet, want wie weet komt er dan weer een andere conflicterende formulering bij ;-) --LimoWreck 24 jul 2006 01:14 (CEST)

Nogal, ja. Er wordt sowieso vreemd met de complexe getallen omgesprongen, vind ik. Complexe getallen worden immers ook als afbeelding gezien: de afbeelding z --> az past een draaivermenigvuldiging toe op z, dat is althans de lezing, maar je kunt met evenveel recht zeggen dat z een draaivermenigvuldiging toepast op a. Je kunt met complexe getallen precies zo rekenen als met reële getallen, en daarom noemen we het getallen, maar ze zijn isomorf met draaivermenigvuldigingen (staat een stukje over in het artikel bij het deel over matrices) en draaivermenigvuldigingen getallen gaan noemen gaat me toch te ver. Het is net zoiets als bij goochelen: de goochelaar laat zijn lege hoed zien, haalt wat rare fratsen uit en hopla, daar komt er een konijn uit. Ander voorbeeld: als een buitenlander zich onder een valse naam in Nederland heeft gevestigd, heeft dus een niet-bestaande persoon met die valse naam het Nederlandse staatsburgerschap verkregen. Heeft die niet-bestaande burger stemrecht of recht op een uitkering wegens werkloosheid of invaliditeit? Hoe moet die niet-bestaande persoon het tereceht uitoefenen als hij/zij geen machtigingsbiljet kan ondertekenen? Enzovoort. Het noteren van het complexe getal 10 + 0i als 10 en dan zeggen dat 10 een reëel getal is, is niets meer dan goochelen. Bombelli vond het sofistiek dat ${\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {-121}}}}+{\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {-121}}}}=(2+{\sqrt {-1}})+(2-{\sqrt {-1}})=2+2=4$ Misschien had hij gewoon gelijk.

... Het complexe getal 1 is een voor de leek verwarrende afkorting van de schrijfwijze 1 + 0i ... Dit is gewoon lachwekkend: een leek zal hierdoor niet in verwarring raken, het zijn de deskundigen die erdoor van streek raken! ignorance is bliss... Koenb 25 jul 2006 11:59 (CEST)

Je spreekt je eigen vonnis uit. Floris V 25 jul 2006 13:23 (CEST)

Die opmerking van Koenb klopt nochtans hoor. In de middelbare scholen lepelen ze het zo in, en geen puber die problemen heeft met het feit dat 1 = 1+0i; integendeel, zoiets vonden we vanzelfsprekend, het zou leraars ons toen (toen we "leken" waren dus ;-) ) meer zweet gekost hebben om te vertellen dat het anders was ;-) --LimoWreck 25 jul 2006 14:32 (CEST)

Vast. En er werden op de middebare school ook - didactisch overantwoord - allerlei schijnbewijzen geleverd voor stellingen uit de meetkunde. Dat bewijst dus niets. Op de middelbare school leer je geen echte wiskunde. Er is zelfs kritiek op de definitie van reële getallen van Weierstrass, ook al loopt zijn theorie als een trein. Floris V 25 jul 2006 15:46 (CEST)

De uitdrukking 'voor de leek verwarrend' is in deze context misschien niet noodzakelijk, mede gelet op de reactie van Koenb. Ik heb die vervangen door een iets neutraler formulering. Verder heb ik de zinsnede 'getallenparen of vectoren' verwijderd om twee redenen; ten eerste omdat deze vnl. verwarring kan scheppen, immers in velerlei opzichten kunnen vectoren worden beschouwd als getallenparen, ten tweede omdat de zinsnede daar eigenlijk best kan worden gemist. Bob.v.R 25 jul 2006 16:05 (CEST)

Akkoord. Floris V 25 jul 2006 18:55 (CEST)

Je kunt ook niet even een paar dagen weg. Wat een discussie is hier losgebarsten. laat ik beginnen met te zeggen dat ik proef dat sommigen te absoluut over de begrippen R en C denken. Zoals uit het artikel blijkt kan een complex getal op verschillende manieren ingevoerd (gedefinieerd) worden. In het artikel is voor de "eenvoudige" voorstelling a+bi gekozen. Dan is vanzelf R een deel van C. Sommigen vinden het interessanter om de voorstelling als RxR te kiezen met de extra vermenigvuldiging. Dan is R strikt genomen geen deel van C, maar zoals men zegt, ingebed in C. De hiermee samenhangende problematiek bestaat ook op veel andere tereinen. Overigens is er de vraag of men kan spreken van dé reele getallen, of dat het eigenlijk een equivalentieklasse is. Het hangt immers van de gekozen definitie van R af wat een reel getal is. Een limiet, een schakeling van intervallen, een snede, ...Nijdam 26 jul 2006 01:02 (CEST)

Dit is als helder vers drinkwater in de woestijn! Als we het op deze manier in het artikel ook weergeven, iets anders geformuleerd natuurlijk, lijkt dat me het duidelijkst! Ik heb in de paragraaf over de definitie van het complexe getal alvast expliciet onderscheid gemaakt tussen de twee manieren van definiëren, want in de voorgaande versie liepen beide manieren wat door elkaar heen. Hopelijk is dat zo duidelijker. Flyingbird 25 jul 2006 01:19 (CEST)

Jammer, dat laatste is weer ongedaan gemaakt, waarmee het weer door elkaar heen loopt. Flyingbird Wed Jul 26 15:44:08 (CEST)

We hebben hierover al een uitvoerige discussie gehad. Er loopt niets door elkaar. Juist de door Fly.. gehanteerde lay-out als één definitie, waar het om twee alternatieven gaat maakt het onduidelijk. Bovendien doen de "kopjes" wat merkwaardig aan. In de huidige opzet wordt ook duidelijk wat de gebruikelijke vorm is van een complex getal en wat de betekenis van de alternatieve definitie is. Ik hoop ook dat we niet uit het oog verliezen dat het een encyclopedie betreft en geen abstract wiskundig artikel.Nijdam 26 jul 2006 18:03 (CEST)

Waarschijnlijk ligt het dan aan mij. De paragraaf over de definitie begint met (de kleuren zijn door mij toegevoegd): Een complex getal is een getal dat bestaat uit twee reële getallen. (Denk aan een breuk, die ook uit twee (gehele) getallen bestaat, teller en noemer.) Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a + bi En weer later wordt de (a,b) notatie uitgelegd. Maar het rode gedeelte gaat toch ook over de (a,b) notatie? Dus eerst een paar woorden over de (a,b) notatie, dan gelijk erop de a+bi notatie, en verderop in de tekst weer de (a,b) notatie. Dat probeerde ik duidelijker uit te splitsen. Flyingbird 26 jul 2006 19:31 (CEST)

Commentaar: Ik weet eigenlijk niet wat de (a,b) notatie is. En de rode zin gaat zeker niet specifiek over de voorstelling van complexe getallen als cartesisch product RxR, al ligt het voor een huidige wiskundige voor de hand om een verband te veronderstellen.Nijdam 27 jul 2006 00:48 (CEST)

De term '(a,b) notatie' is een informele manier om te refereren aan de voorstelling van complexe getallen als cartesisch product $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$. Als je het ermee eens bent, dat het voor een huidige wiskundige voor de hand ligt om een verband te veronderstellen tussen de rode zin en de voorstelling van complexe getallen als cartesisch product $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ dan ligt het dus voor de hand dat in de paragraaf over de definitie van het complexe getal, de allereerste zin verband houdt met de voorstelling van complexe getallen als cartesisch product $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$, vervolgens de definitie van het complexe getal een uitdrukking van de vorm a + bi gegeven wordt, en verderop in de tekst weer de alternatieve definitie van complexe getallen als cartesisch product $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ wordt gepresenteerd. Dat bedoelde ik met het loopt door elkaar heen, en dat probeerde ik te ontwarren. Flyingbird 27 jul 2006 04:02 (CEST)

Wat me duidelijk leek. Maar ja... --LimoWreck 26 jul 2006 19:43 (CEST)

Ach ja, we kunnen weer wat anders gaan doen. Floris V 26 jul 2006 19:50 (CEST)

Nou ja, in de huidige versie is het ook al beter opgesplitst dan toen ik mijn edits begon, verleden nacht, dus wat dat betreft is het al een hele verbetering. Flyingbird 26 jul 2006 20:01 (CEST)

Voor de Inleiding

In mijn voor-inleiding is nu al zo veel geschrapt en toegevoegd, dat het ontwerp teniet is gedaan. De bedoeling was de lezer in een paar woorden te vertellen wat een complex getal is en waarvoor het dient. Kan de stammenstrijd over getallenparen dan wel sommen nu echt niet worden uitgesteld tot verderop in het artikel? Ik ga mijn originele, neutrale intro terugplaatsen in de hoop dat die nu wel blijft staan. Koenb 26 jul 2006 21:56 (CEST)

Commentaar: Het lijkt wel of iedereen expert meent te zijn als het over complexe getallen gaat. Helaas blijkt steeds het tegendeel. Wat stellen de huidige eerste zinnen van het artikel nu voor. Denk je eens in de positie van je lezer! Ik ben er als opening niet gelukkig mee.Nijdam 27 jul 2006 00:48 (CEST)

De intro zou idealiter juist begrijpelijk moeten zijn voor de leek, niet voor de expert. In jouw versie begint het artikel zelfs met (de kleuren zijn door mij toegevoegd) Een complex getal is een getal samengesteld uit twee reële getallen genaamd het reële deel en het imaginaire deel. Een complex getal wordt meestal geschreven als a + bi, met a het reële deel en b het imaginaire.. Dus in de tweede zin komt i als het ware als een konijn uit de hoed, want in de eerste zin is er sprake van twee reële getallen. Ik denk dat er weinig leken zijn, die dit kunnen volgen. Waarmee ik niet zeg, dat Koenb's versie zo goed is. Flyingbird 27 jul 2006 04:48 (CEST)

Nijdam: Doe er dan zelf wat aan. Als je jezelf tot de enige expert op dit gebied uitroept, zorg er dan tenminste voor dat de tekst goed is. Nu zadel je de rest op met een vertoon van je eigen onvermogen. Floris V 27 jul 2006 10:34 (CEST)

Heren, wat vindt U dan van de Engelse versie, met name de intro? Hier een vertaling:

In de wiskunde is een complex getal een getal van de vorm a + bi, waarin a en b reële getallen zijn en i een imaginair getal, de imaginaire eenheid genaamd, met de eigenschap i2 = -1. Het reële getal a wordt het reële deel van het complexe getal genoemd, en b is het imaginaire deel. Als het imaginaire deel b 0 is, is het complexe getal gewoon het reële getal a.
Complexe getallen kunnen worden opgeteld, afgetrokken, vermenigvuldigd en gedeeld zoals reële getallen, maar ze hebben daarnaast nog enkele elegante eigenschappen. Bijvoorbeeld: reële getallen bieden op zichzelf niet voor elke algebraische vergelijking een oplossing, maar complexe getallen doen dat wel. Koenb 27 jul 2006 13:31 (CEST)

Helemaal niet slecht! Omdat het met 'In de wiskunde' begint, zullen de meeste leken het al snel kunnen plaatsen. Wat mij betreft liefst een intro zonder formele zaken, maar als men dat toch wil, is dit een goede optie. Flyingbird 27 jul 2006 14:05 (CEST)

Moet je de Franse inleiding eens zien. Daar durven ze het aan te schrijven dat complexe getallen zijn ingevoerd in verband met de problemen rond het oplossen van derdegraadsvergelijkingen. Hulde. Floris V 27 jul 2006 15:02 (CEST)

De pré-inleiding van 26 jul 2006 18:08 was volgens mij in orde. De huidige versie is zo uitgekleed dat je dan nog beter niets kan zeggen. Bob.v.R 27 jul 2006 15:32 (CEST)

Ahja, dat in de wiskunde is iets wat ik vaak tracht te doen of over te nemen in artikels, of het nu wiskunde, muziek, computer, sport, ... Gewoon schetsen in welk gebied men een onderwerp of feit moet situeren. --LimoWreck 27 jul 2006 15:39 (CEST)

Huidige versie hier	Engelse wiki	Commentaar
Een complex getal is in de wiskunde een paar reële getallen, (...) Een complex getal wordt meestal geschreven als a + bi, met a het reële deel en b het imaginaire.	In de wiskunde is een complex getal een getal van de vorm a + bi, waarin a en b reële getallen zijn en i een imaginair getal...	Wij stellen meteen: een paar reële getallen, maar dat is fout, dat weet iedereen. In de eerste zin van de Engelse wiki staat het goed en lees je in één zin de essentie van een complex getal.
Met complexe getallen (geschreven als a + bi) kan op de gewone manier gerekend worden, ...	Complexe getallen kunnen worden opgeteld, afgetrokken, vermenigvuldigd en gedeeld zoals reële getallen, maar ...	De Engelse wiki laat in het midden hoe dat +, -, x en / in zijn werk gaat, vermeldt alleen dat het lijkt op rekenen met reële getallen. Maar gewoon, zoals wij stellen dat het is, is het niet; vooral het vermenigvuldigen en delen niet.
... met als enige extra regel de eigenschap van de imaginaire eenheid i, dat het kwadraat ervan steeds door -1 vervangen wordt.	... ze hebben daarnaast nog enkele elegante eigenschappen. Bijvoorbeeld: reële getallen bieden op zichzelf niet voor elke algebraische vergelijking een oplossing, maar complexe getallen doen dat wel.	Wat hebben we aan extra regels (en is i²=-1 wel een regel)? De Engelse wiki zegt het beter: met complexe getallen hebben we meer mogelijkheden
(niets)	Als het imaginaire deel b 0 is, is het complexe getal gewoon het reële getal a.	Op de Engelse wiki krijgt de lezer meteen wat grond onder de voeten.

Ik ben jaloers op die Engelse wiki. Hoe doen ze dat toch, met 20 keer meer redacteuren een artikel tot stand brengen dat zo to the point, correct en helder is? Om groen van te worden. Koenb 27 jul 2006 19:15 (CEST)

Eenvoudig: er is daar op school meer aandacht voor schrijfvaardigheid. Maar je zou je ook eens aan de Franse versie moeten wagen. Mijn Frans is helaas niet goed genoeg, maar zelfs het beetje dat ik eruit wijs word is al veelbelovend, een fraaie inleiding. Floris V 27 jul 2006 20:27 (CEST)

Een verwonderlijke adoratie voor het Engelse artikel. - In de wiskunde is een complex getal een getal van de vorm a + bi, waarin a en b reële getallen zijn en i een imaginair getal...

blijkbaar is een complex getal een element van de getallen, en wel van een speciale vorm. Dit is een verkeerde manier van definieren. Het gaat niet om een inperking, maar om een uitbreiding

- De Engelse wiki laat in het midden hoe dat +, -, x en / in zijn werk gaat

Dat is een omissie, want de essentie is dat je op de gewone manier rekent, met die ene extra regel. Vermenigvuldigen en delen gaan op de gewone manier.

- Als het imaginaire deel b 0 is, is het complexe getal gewoon het reële getal a.

"Op de Engelse wiki krijgt de lezer meteen wat grond onder de voeten."

wat voor grond weet ik niet als ik naar de bovenstaande discussie of R nou wel of niet deel is van C, kijk.

Nijdam 28 jul 2006 00:31 (CEST)

Tuurlijk laat de EN wiki de details over +, -, x, / in het midden in de inleiding. De details hebben niets te zoeken in de inleiding. Inleiding, kort, begrijpbaar, geen uitleg of inhoud, wel schetsing... ipv die vol te proppen met wollige verbloemende taal een korte essentie erin. Prima inleiding alleszins ginder --LimoWreck 28 jul 2006 00:45 (CEST)

Ik zie net dat er een plaatje van de eenheidscirkel bij de voorstelling als complex vlak geplaatst is. Het is een mooi plaatje, dat wel, maar het slaat absoluut niet op de bijgaande tekst.Nijdam 28 jul 2006 00:35 (CEST)

Het plaatje staat bij het kopje voorstelling, dat handelt over een voorstelling in het vlak. Prima plaats dus. Wat is een betere plaats, het kopje externe links of zo zeker waarschijnlijk ? --LimoWreck 28 jul 2006 00:46 (CEST)

Ach ... Wanneer zegt iemand nou eens iets over het kopje Polaire notatie? Polaire coordinaten (sic; op internet aangetroffen) is toch een anglicisme of heb ik te lang verstopt gezeten en zegt en schrijft iedereen dat tegenwoordig? Floris V 28 jul 2006 01:04 (CEST)

Sorry Koenb, de zinsnede Met complexe getallen (geschreven als a + bi) kan op de gewone manier gerekend worden, met als enige extra regel ... is toch uitermate correct en 'to the point'? Met het commentaar van jou op deze zin ben ik het niet eens. Vermenigvuldigen en delen is m.i. juist wél op deze manier correct en toch kernachtig gedefinieerd! Wat dit betreft zie ik geen aanleiding om 'jaloers' naar andere Wikipedia's te kijken.

Dat er naast de basisdefinitie óók een polaire voorstelling is, hoeft niet in de pré-inleiding te staan (die moet immers beknopt zijn), het is in wezen ook een 'extra' ten opzichte van de basisdefinitie. Bob.v.R 28 jul 2006 03:59 (CEST)

Pardon, dat heet voorstelling met poolcoördinaten. Als we ons conformeren aan de spellingsregels van de Taalunie, waarom zouden we ons dan niet conformeren aan de traditie van de wiskundigen? Polaire notatie is een al te letterlijke vertaling uit het Engels. Ik ben het met Nijdam eens dat het plaatje van de eenheidscirkel op die plek niets te zoeken heeft en niets verduidelijkt. Het is leuk voor wie de achtergrond kent, en voor alle andere mensen schept het verwarring.

Verder wil ik voorstellen dat we met ons allen Nijdam net zolang aan zijn hoofd blijven zeuren dat de tekst beter moet tot hij aan het werk gaat. Wijzigingen reverten omdat ze niet goed zijn is één ding, een slechte tekst met die reverts gaan verdedigen is wat anders. Floris V 28 jul 2006 10:53 (CEST)

Floris, heb je het over de pré-inleiding? Wat is er volgens jou slecht aan de huidige versie? Bob.v.R 28 jul 2006 12:38 (CEST)

Over andere artikel-onderdelen

Ik wil niet steeds een nieuw onderwerp aansnijden, dus plaatste ik mijn opmerking over foutief gebruik van de terminologie tussen de rest door. De huidige inleiding is zwak, niet encyclopedisch. Misschien is het beter van de opening van het artikel een historische schets te maken - dat men zich met complexe getallen is gaan inlaten door de derdegraadsvergelijkingen, zoals in het Franse artikel. En vervolgen met de opmerking dat toen bleek dat complexe getallen geweldig veel toepassingen hebben en helemaal niet 'onmogelijk' zijn. Pas daarna kom je dan met de definitie en notaties, in een nieuwe paragraaf.

Maar nogmaals, we hoeven de tekst niet vol te zetten met slordig vertaalde terminologie, ook al rukt dat slordige vertaalwerk op internet wel op. Als je uitdrukkingen als 'polaire notatie' laat staan, hoef je je wat mij betreft over de rest ook niet meer druk te maken. Floris V 28 jul 2006 13:19 (CEST)

De taalunie of Van Dale zijn niet zo wiskundig geavanceerd zeker, 'polaire notatie' lijkt me in se wel niet fout zeker, hoewel 'voorstelling in poolcoördinaten' me alleszins wel natuurlijker Nederlands klinkt ;-) Misschien is dat voer om een discussie op te zetten in het betreffende artikel; kwestie van nog wat bezighouding te hebben ;-) --LimoWreck 28 jul 2006 13:41 (CEST)

Gisteren heb ik de anderstalige wiki's eens doorgebladerd, en raad eens wat? Van alle europeestalige versies (en misschien wel van alle) is de Nederlandse de langste! Een bedenkelijk record. De Franse wiki wijkt inderdaad af van alle andere door het gezellig keuvelende begin, waar men tientallen regels benut om de geschiedenis van het complexe getal uit de doeken te doen, met de namen van de betrokken wiskundigen-avant-la-lettre. Leuk, maar als lezer wil je waarschijnlijk dat men eerder ter zake komt, en in bijna alle wiki's is dat ook zo. In de intro moet je stellen wat een complex getal is en waarvoor het dient; details en uitstapjes voor die het begrip niet noodzakelijk zijn, zoals de geschiedenis, horen daar niet thuis. Koenb 28 jul 2006 13:45 (CEST)

Totaal maar dan ook absoluut mee oneens. Floris V 28 jul 2006 13:51 (CEST)

Tuurlijk klopt het. Geschiedenis heeft in een encyclopedie , in tegenstelling tot korte leerboeken, zeker een essentiële plaats. Keuvelen over de geschiedenis heeft echter inderdaad totaal geen functie in een inleiding, maar hoort prima in een alinea net onder een inleiding en/of een definitie, afhankelijk van het onderwerp. Een artikel over the Beatles zegt eerst kort wie ze zijn en wat hun impact is, en behandelt dan de geschiedenis en hoe het zover gekomen is. Een artikel over Nederland zegt eerst wat het is, en vervolgens hoe het ontstaan is. Een artikel over het Grieks alfabet zegt eerst wat dat alfabet is, daarna hoe het ontstaan is. Juist die ontstaansgeschiedenis, de context waarin ze nodig zijn, hoe het ontwikkeld en/of ingevoerd is, is juist essentiële encyclopedische info, maar dat hoort in een artikel inderdaad niet als "intro" te dienen... dat zou men meer verwachten als mogelijk invoering bij een stuk proza over de complexe getallen in een leerboek op wikibooks. --LimoWreck 28 jul 2006 14:02 (CEST)

Als er iets is waarmee je duidelijk kunt maken waarom complexe getallen zo nodig moesten worden ingevoerd is het wel dat verhaal over de derdegraadsvergelijking. Dat is geen historisch kletspraatje, wie dat zegt etaleert gewoon zijn of haar totale onbegrip. Wortels uit negatieve getallen werden - denk ik - beschouwd als een soort synoniem van tegenspraak: je neemt aan dat een vergelijking oplossingen heeft, past te regels toe, komt met wortels uit een negatief getal en voilà: tegenspraak bereikt, er zijn geen oplossingen. Dat werkte prima bij vierkantsvergelijkingen, maar bij derdegraadsvergelijkingen gaat die vlieger niet op. Vergeet ook niet dat je in dat historische verhaal al een boel theorie en verduidelijking kunt introduceren.

Opzet van een opening

De directe aanleiding om de reële getallen uit te breiden was de in de zestiende eeuw door Tartaglia gevonden formule om derdegraadsvergelijkingen op te lossen. Zijn land- en tijdgenoot Bombelli ontdekte dat in die formule wortels uit negatieve getallen optreden telkens als de vergelijking in kwestie drie verschillende (reële) oplossingen heeft. Het bleek dat met deze uitkomsten, de 'som' van een gewoon reëel getal en de wortel iut een negatief getal, net zo gerekend kom worden als met reële getallen zonder meer. Zo ontstond naar analogie van de uitdrukking $a+{\sqrt {b}}$ de intuïtieve schrijfwijze $a+b{\sqrt {-1}}$; nog later werd ${\sqrt {-1}}$ vervangen door het symbool i. Pas in de 19e eeuw werden alle onduidelijkheden over deze complexe getallen opgehelderd. Inmiddels was al duidelijk geworden dat met deze 'onmogelijke' getallen talloze problemen uit de wis- en natuurkunde op een elegante manier kunnen worden opgelost.

Definitie

Complexe getallen worden in de literatuur op verschillende manieren ingevoerd: als vectoren of als geordende getallenparen (a, b), waarbij a en b reële getallen zijn. enz.

Is er eigenlijk wel één definitie van complexe getallen, of van C for that matter? Voor C bijvoorbeeld heb ik al gezien: 1) R is een deelverzameling van C; 2) R is isomorf met een deelverzameling van C; 3) C is een quotientverzameling van R en {x2=-1}, en zelfs 4) C is gelijk aan R2 met een extra rekenregel, namelijk voor het product.

Nieuw begin?

Het schijnt mij inmiddels toe dat er verschillende definities zijn voor complexe getallen, die naast elkaar bestaan en afhankelijk van de toepassing worden gebruikt. Het lijkt op de benadering van licht: is dat nu een golfverschijnsel of zijn het deeltjes? Allebei, blijkt. Van complexe getallen kun je hetzelfde zeggen: het is èn een som van twee verschillende soorten getallen (reële en imaginaire), èn een vector in 2D met een rekenregel voor vermenigvuldiging, een rotatievermenigvuldiging, èn je kunt elementen van C ook nog als 2x2-matrices opvatten.

Zoals het er nu voor staat wordt iedere minieme wijziging met argusogen beloerd en teruggedraaid of ontkracht. Volgens de weg van geleidelijkheid is dit artikel niet te verbeteren, alleen te verlengen.

Ik ben daarom van plan te proberen het artikel (elders!) opnieuw op te zetten met een strakkere lijn maar zonder een bepaald stokpaardje te berijden (ook die van mezelf niet). Daarna kan iemand een stemming uitschrijven om te zien of het resultaat beter is dan wat er nu hier staat. Als dat het geval is, heeft het nieuwe artikel een breder draagvlak dan wat er nu staat. Koenb 29 jul 2006 17:21 (CEST)

Als er eenmaal een goed begin is waar zelfs Nijdam vrede mee kan hebben kunnen we de rest wel snoeien - maar zolang er geen overeenstemming over zelfs een begin is, zou ik me niet inspannen voor een heel nieuw artikel. Zonde van je tijd.

Zoals je aan mijn schets hebt gezien kun je met een historische inleiding + intuïtieve uitleg al een goede aanzet geven (en dit is geen leerboek algebra maar een encyclopedie, dus dat historische verhaal mag best naar voren, en als je het als leerboek wilt zien, des te beter: zls je ziet dat wiskundigen in het verleden heel wat moeite hadden met complexe getallen steek je de niet geniale lezer een hart onder de riem door dat er vanaf het begin bij te zetten, met meteen de verduidelijking erbij). Daarna kom je dan met de formele behandeling, waarin een aantal verschillende definities - verzameling vectoren, geordende paren enz, met korte uiteenzetting waarom die allemaal equivalent zijn - en inderdaad, er zijn zoveel definities omdat ze op zo verschillende manieren gebruikt worden, bv voor vergelijkingen van meetkundige plaatsen. Floris V 29 jul 2006 17:32 (CEST)

Ik zie liever geleidelijke aanpassingen dan een totale vervanging van het artikel. Ondanks wat dingen die ik hierboven noemde, vind ik het evengoed niet bepaald slecht, integendeel. Flyingbird 29 jul 2006 20:31 (CEST)

Er zitten prima stukken in, maar die worden afgewisseld door hele slechte. Dat is het probleem. Floris V 29 jul 2006 23:35 (CEST)

De aanpak van Koenb lijkt mij ook zonde van de tijd, gelet op Koenb's eerdere bijdragen (die waren niet allemaal fout, maar toch ook niet allemaal goed). Wat dan beter lijkt is alinea voor alinea de discussie voeren, want uiteindelijk kom je daar toch niet onderuit. Het voeren van die discussie is kennelijk al moeilijk genoeg. Ik heb hierboven gevraagd wat de feitelijke bezwaren tegen de huidige pré-inleiding, dus het stukje boven de inleiding. Als reactie van Floris kwam er 'zwak', maar dat is niet echt concreet, dus daar komen we nu ook niet verder mee; uiteindelijk zal echter toch meer concreet overleg nodig zijn als je iets wil. Volgens mij is overigens de pré-inleiding op dit moment in orde. Bob.v.R 30 jul 2006 00:23 (CEST)

Mijn probleem met de pré-inleiding (wat een woord, trouwens) stilistisch zwak is, de tekst nodigt niet bepaald uit tot verder lezen, daarnaast valt hij op een akelige manier met de deur in huis en tegelijk denk ik, wat staat er nou war de lezer houvast mee krijgt? Voor wie weet wat complexe getallen zijn is het wel duidelijk ja, maar wie dat al weet hoeft dit artikel niet te lezen. De vraag is: is dat verhaal duidelijk voor wie niet weet wat complexe getallen zijn? En het antwoord kon wel eens een heel duidelijk Nee zijn. Floris V 30 jul 2006 00:29 (CEST)

Je opmerkingen vind ik nog steeds vrij globaal. Toch probeer ik hierbij een reactie per punt te geven, maar die reactie zal dus ook wat 'globaal' van karakter zijn.

• stilistisch zwak -- vind ik wel meevallen; hier zal je echt met concrete suggesties voor verbetering van de stijl moeten komen
• nodigt niet bepaald uit tot verder lezen -- ook dat vind ik wel meevallen, overigens is het eerste doel dat de lezer verneemt wat hij eigenlijk aan het artikel heeft; als de lezer uit de concrete informatie bevestigd wordt in zijn idee dat hij meer wil of moet weten van complexe getallen, dan zal hij zeker verder lezen; het eerste doel is dus gewoon melden waar het over gaat, op een heldere concrete manier
• valt op een akelige manier met de deur in huis -- zie mijn vorige opmerking; wat je precies akelig vindt weet ik niet
• wat staat er nou waar de lezer houvast mee krijgt? -- wat er staat is de basis: het zijn paren reële getallen waarvoor bepaalde rekenregels gelden
• is dat verhaal duidelijk voor wie niet weet wat complexe getallen zijn? -- de ultieme manier om dat te beantwoorden is het werken met lezerpannels; misschien is dat best iets om voor Wikipedia over na te denken, maar die oplossing overstijgt het bespreken van dit ene artikel; op dit moment hebben we als deskundigen de soms best lastige uitdaging ons te verplaatsen in de niet-deskundige lezer; volgens mij krijgt de lezer hiermee een helder eerste beeld van wat een complex getal nu eigenlijk is

Bob.v.R 30 jul 2006 00:54 (CEST)

Okay, ik heb een eerste zin toegevoegd, zodat we iets minder met de deur in huis vallen. Bob.v.R 30 jul 2006 01:04 (CEST)

Door 84.193.159.25 was die zin verwijderd, maar ik heb deze zojuist weer toegevoegd. Bob.v.R 31 jul 2006 02:03 (CEST)

collega anoniem had toch gelijk ? Het is evident dat het begrip "een rol speelt binnen en buiten de wiskunde", anders bestond het begrip niet of werd het niet ingevoerd of beschreven. Maken we straks in het artikel over Beatrix een introductie: "Binnen en buiten Nederland speelt de persoon Beatrix een rol." ?

Hierbij verzoek ik 202.75.128.24 om een uitgebreide discussie die hier loopt niet te exporteren naar andere pagina's. Als je het ergens m.b.t. de pagina complex getal niet mee eens bent, dan is deze overlegpagina de plek om de discussie hierover te voeren. Bob.v.R 31 jul 2006 02:48 (CEST)

Hierbij verzoek ik BobVR om op de andere pagina's mijn wijzigen terug te zetten. Voor consistentie heb ik dat daar ook ingevoegd omdat het even zinnig was. Gelieve op de overlegpagina's daar aan te geven wanneer je er niet mee akkoord bent. Voor gelijkheid en om het zinnig te houden heeft zo'n zin eerste in elk artikel even veel of even weinig een plaats !

We praten langs elkaar heen. De tekst introduceert termen zoals reëel en imaginair deel, maar waarom heten die dingen zo? Waarom niet gewoon erbij gezegd dat die zo genoemd werden omdat de wiskundigen het destijds een geweldige hokus pokus vonden en dus onderscheid maakten tussen 'echt' en 'fantasie'? En dat die namen daarna om historische redenen in gebruik zijn gebleven? Daarom ben ik ook met een historiserende inleiding begonnen, zie boven, de bedoeling is o.a. veel van de vreemde naamgeving op die manier als het ware tussen neus en lippen door uit te leggen. Floris V 30 jul 2006 01:15 (CEST)

definitie zoals opgenomen in de pré-inleiding

In de pré-inleiding heeft Koenb het woord 'complex' bij i verwijderd, met als motivatie dat er anders een recursiviteit zou ontstaan. Ik sluit me daarbij aan, in de daar gegeven definitie wordt i voornamelijk gepresenteerd als een speciaal getal dat dient om beide reële getallen min of meer gescheiden te houden. Ik ben het dus niet eens met de revert die Nijdam zojuist hierop heeft uitgevoerd. Bob.v.R 31 jul 2006 00:33 (CEST)

1. De prepreprepinleiding is niet als heel exact bedoeld. 2. i is wel degelijk een complex getal. 3. Door dat niet te vermelden, suggereer je iets verkeerds. 4. Er staat uitdrukkelijk: een speciaal complex getal. 5. Waar ontstaat de recursiviteit? Nijdam 31 jul 2006 00:42 (CEST)

ad 1: inderdaad. ad 2: formeel wel. ad 3: het wordt ook niet ontkend, dus het kan later gerust alsnog worden vermeld; maar dat is op dat moment niet het primaire 'doel' van i; het primaire doel is daar het 'uit elkaar houden' van reëel en imaginair deel. ad 4: mja, dat is zo, maar we willen het de lezer niet te lastig maken. ad 5: een complex getal is (te schrijven als) a + bi, en dan krijgen we ook weer dat i zelf een complex getal is; is i nu c + di? (ik weet het antwoord wel, maar de lezer niet op dat moment)

Alles afwegende kan ik toch wel akkoord gaan met het daar nog even niet noemen dat i (inderdaad) ook een complex getal zal blijken te zijn. Bob.v.R 31 jul 2006 01:54 (CEST)

@BobvR: Ik begrijp niet wat "alles afwegende" bij jou betekent. Alles doet de weegschaal "mijn" kant doorslaan en toch...?Nijdam 31 jul 2006 07:44 (CEST)

Nijdam, de punten 1, 3, 5 pleiten juist 'mijn' kant op. Punt 2 pleit jouw kant op, en punt 4 zie ik als neutraal. Q.e.d. Groeten, Bob.v.R 31 jul 2006 12:17 (CEST)

Om misverstanden te voorkomen: met de genoemde punten bedoel ik steeds het door Nijdam opgeworpen aandachtspunt, aangevuld met mijn reactie erop. Bob.v.R 31 jul 2006 16:56 (CEST)

Beste Nijdam, nu zit je wederom hardnekkig De imaginaire eenheid i is zelf ook een complex getal met reëel deel 0 en imaginair deel 1. toe te voegen aan de pré-inleiding. Dat kan toch prima achterwege worden gelaten tot in het eigenlijke artikel!! Hebben mijn argumenten dan echt zo weinig indruk gemaakt? Ik heb toch hier direct boven concreet gereageerd op jouw bewering? Met desalniettemin vriendelijke groet, Bob.v.R 31 jul 2006 23:46 (CEST)

Hallo Bob, inderdaad hebben je argumenten totaal geen indruk gemaakt. Ik zou zelfs het liefst schrijven ...waarin i een speciaal complex getal is .... Maar waar dat kennelijk op zoveel merkwaardige tegenstand stuit, heb ik het nu zo opgelost. Verder vond ik de opmerkingen over wiskundigen en de wortel uit -1 niet passen, niet in de inleiding en zelfs nergens in het artikel.Nijdam 31 jul 2006 23:55 (CEST)

Tsja. Is Wikipedia een encyclopedie of een leerboek algebra? Mag ik dus eens vragen voor welke lezertjes dit artikel bedoeld is? En dat dit artikel geen forum is voor mensen zoals aan het begin van deze overlegpagina, die vinden dat de keiharde waarheid over het getal i als de wortel van min een nu maar eens gezegd moet worden? Je komt gewoon in de verleiding om het npov-sjabloon erop te plakken.

Dus: niet meteen met formules gaan smijten, dan haakt 50% van de lezers al af. Wel: zeggen dat met de complexe getallen de reële getallen worden uitgebreid naar buiten de getallenlijn ("de getallenlijn is vol", geintje). Zeg dat de reële getallen corresponderen met de punten op een rechte lijn en dat de complexe getallen corresponderen met de punten in een plat vlak, en zo met de coördinaten (a, b) van die punten. Door de regels voor optellen en vermenigvuldigen gedragen deze nieuwe dingen zich net als gewone getallen, en daarom noemen we ze ook getallen. De schrijfwijze a + bi sluit beter aan bij de opvatting als getal en is ook makkelijker in het gebruik. Floris V 31 jul 2006 13:24 (CEST)

De huidige inleiding van Floris leest alleszins ook weer vlot. Ik vreesde dat hij er iets te uitgebreid en vaag van zou maken toen ik eerder commentaar las, maar het lijkt wel goed. (op dat humorische vertelseltje na ;-) ). Beknopt, informatief, niet teveel "specifiek" willen zijn... Ik herinner mij inderdaad dat ik ooit in mijn pubertijd in een "encyclopedie" (het was een speciaal soort; een met doorlopende hoofdstukken, geen aparte lemma's) geleerd heb wat complexe getallen waren; enkele jaren voor men er mee in school aankwam. En het eerste want ik toen onthield was inderdaad dat men op "magische" wijze opeens de gewone getallenas opentrok en er i-as tevoorschijn kwam. Dus als ik mijn jeugdige herinneringen, onvervuild van schoolse leerstof, er op na ga, moet dat blijkbaar wel iets kenmerkend en belangrijk geweest zijn om het begrip te verduidelijken. Hopelijk gaat men nu niet weer zomaar reverten ;-) --LimoWreck 31 jul 2006 23:02 (CEST)

Dank je. :-) Mijn zinspeling op humoristische wiskundigen was overigens serieus bedoeld - ze hebben er een handje van terminologie in heel verschillende betekenissen te gebruiken en dan op te merken dat daardoor geen verwarring ontstaat. Ik ben zoiets echt een keer tegengekomen. De wiskundetaal zou vrij zijn van de dubbelzinnigheden van de natuurlijke taal, nou, laat me niet lachen zeg. Het barst van de dubbelzinnigheden, en de wortel uit min een is daar een mooi voorbeeld van - daar wordt natuurlijk één van de wortels mee bedoeld, maar dat voorbehoud wordt niet vermeld. Floris V 31 jul 2006 23:10 (CEST)

Vergeet niet dat het b.v. heel gewoon is om te schrijven: ${\sqrt {-144}}={\sqrt {144}}\cdot {\sqrt {-1}}=12{\sqrt {-1}}=12i$ Floris V 31 jul 2006 23:24 (CEST)

Editwar?

De zin "Om historische redenen..." geeft niet aan wat bedoeld is. Dat heb ik wel vermeld, en ik hecht eraan dat dat ook zo in de inleiding komt te staan. Ook hecht ik eraan dat in de inleiding niet in het midden wordt gelaten dat i ook een complex getal is. Ik wil overtuigende argumenten horen wat daar mis mee is!Nijdam 1 aug 2006 00:07 (CEST)

Ga je mond spoelen. De namen reëel en imaginair deel stammen uit de tijd dat men niets begreep van wat complexe getallen zijn. Men vond het klinklare nonsens. Negatieve getallen werden nog niet eens serieus genomen, dus laat staan wortels daaruit. Denk je eens in. Ik heb grote bewondering voor Bombelli, die zonder onze moderne notaties en zonder de moderne inzichten de zaken voortvarend anpakte. Dat zijn naamgeving niet erg gelukkig is en dat we daar door het conservatisme van de wiskundige goegemeente nog steeds aan vast zitten - allà, ik vergeef het hem. Maar de onwetende leer niet vertellen waarom het allemaal zo heet, dat is echt van de gekke, in Klukkluktaal.

Het is aperte flauwekul om te beweren dat wiskundigen de reële getallen zijn gaan uitbreiden omdat ze de vergelijking x² = -1 op wilden kunnen lossen (oké, ik zal het verder netjes houden). Of dat de ze rationale getallen wilden uitbreiden voordat ze daartoe gedwongen werden door het bewijs dat er irrationale getallen zijn. En ik heb hiervoor al aangegeven dat het de derdegraadsvergelijkingen waren (met altijd minstens een reële oplossing) en niet de kwadratische waren die de hh wiskundigen dwongen de complexe getallen te gaan onderzoeken.

Verder is het zo dat i een dubbelrol heeft; enerzijds dient het om het reële en imaginaire deel van een complex getal uit elkaar te houden, anderzijds kan het optreden als complex getal in its own right - en iets in die trant wil ik eigenlijk in de tekst krijgen, maar ik heb de goede formulering nog niet te pakken.

Legendre of lagrange zou gezegd hebben dat je een wiskundig probleem pas echt goed begrijpt als je het een willekeurige voorbijganger zo kunt uitleggen dat die het begrijpt. En zo duidelijk vind ik dat we het hier moeten vertellen. Deal? Floris V 1 aug 2006 00:24 (CEST)

@FlorisV: Zoals met alles is het van belang te weten waarover het gaat voor men z'n mening geeft. Dat geldt voor dit artikel, waar jij zeker kennis van zaken hebt, maar anderen gezien de opmerkingen die ze maken, bepaald niet. Maar het geldt ook voor de discussie hier, en als je de geschiedenis van het artikel was nagegaan zou je gezien hebben dat mijn reactie niet slaat op jouw nieuwe start, maar op de m.i. ongenuanceerde revert van enkele aanpassingen die ik in die nieuwe start aanbracht. Ik ben het in grote lijnen eens met wat je eerder schreef oveer arikelen in een encyclopedie en je hebt gelijk dat de eerdere tekst dat "complexe getallen ontstaan zijn uit de behoefte ...." niet correct is. Wel is verdedigbaar dat die behoefte heeft bijgedragen aan hun ontstaan, vandaar dat ik de tekst al had gewijzigd in "...voorzien in de behoefte..." met als doel de lezer de relatie met negatieve kwadraten te laten zien. Zie verder hieronder.Nijdam 1 aug 2006 08:30 (CEST)

(na bwc)

Beste Nijdam, we praten niet over de inleiding, maar over de pré-inleiding, waarin de lezer een eerste indruk krijgt waarover het gaat. Het is niet noodzakelijk dat alles wat maar gemeld kan worden, daarin ook inderdaad gemeld wordt. Naar mijn mening moet iets alleen worden opgenomen in de pré-inleiding, als daar overtuigende argumenten voor zijn. Ik vind dit omdat de beknoptheid van de pré-inleiding een belangrijk doel is. Het is een stukje tekst, in feite voordat het eigenlijke artikel begint!! En argumenten waarom per se reeds in de pré-inleiding er bij de lezer moet worden ingewreven dat ook i een complex getal is, zie ik niet. Dat kan gerust zonder schade bij de lezer ook in een later stadium worden gemeld. Er zijn wel meer zaken die in de pré-inleiding nog niet vermeld worden, en ook dat is niet erg.

Kortom: het feitje dat i zelf ook complex is, is naar mijn overtuiging dus niet belangrijk genoeg voor de pré-inleiding, en een argument om het weg te laten is dat het doel is om zo beknopt mogelijk, de grote lijn te schetsen. Groeten, Bob.v.R 1 aug 2006 00:28 (CEST)

Ik vrees echt het ergste als de bewering dat de i in a+bi een complex getal is verderop in het artikel verschijnt, want het is aperte onzin. Waarom? Omdat als dat waar is, i moet worden geschreven als c+di, zodat een complex getal moet worden geschreven als a+b(c+di) enzovoorts. Maar i is in deze uitdrukking een imaginair getal, ook bi is een imaginair getal, en a is een reëel getal. Alleen de combinatie a+bi is een complex getal. Kunnen we het hier dan tenminste over eens worden? Zo niet, dan gooi ik hier en nu de handdoek in de ring. Koenb 1 aug 2006 00:38 (CEST)

Ga maar rustig slapen. ;-) Er moet alleen duidelijkheid over komen dat i op twee manieren gebruikt wordt, en dat daardoor, zoals wiskundigen dat met veel gevoel voor ironie kunnen zeggen, geen misverstanden ontstaan. Heeelemaal niet. Floris V 1 aug 2006 00:52 (CEST)

Ik volg Koenb's redenatie niet. i is een complex getal, want het is van de vorm a+bi, waarbij a=0 en b=1 toch? Waarom zou je dan nog een c en d willen introduceren, om het een nog complexer getal te maken? ;-) Flyingbird 1 aug 2006 02:47 (CEST)

Het is niet mijn idee om i een complex getal te noemen; als het al een complex getal is, dan toch een ontaard complex getal, net zoals een driehoek met een hoek van 180 graden een ontaarde driehoek is. Het getal -1 is geen imaginair getal, ook geen complex getal, het is een reëel getal. Net zo is het getal i geen reëel getal, ook geen complex getal, het is een imaginair getal. Alleen als je complexe getallen als koppels wilt opvatten, vat je -1 en i vanzelf ook als een koppel op. Maar die opvatting produceert geen nieuwe feiten. Je kunt complexe getallen namelijk op nog meer verschillende manieren opvatten, bijvoorbeeld als 2x2-matrices enzovoorts. Dat verandert toch allemaal niets aan het karakter van i? Koenb 1 aug 2006 17:44 (CEST)

Erg verhelderend is het niet, je legt niet uit, waarom je nog een c en d introduceert en hebt het over heel andere dingen. i is een complex getal, want het is van de vorm a+bi, waarbij a=0 en b=1 toch? Flyingbird 2 aug 2006 08:33 (CEST)

Koen, natuurlijk is i een complex getal; het is een complex getal waarvan het reële deel gelijk aan nul is. Wel ben ik volledig met je eens dat we dat niet reeds in de pré-inleiding er in moeten wrijven, de lezer heeft het dan al druk genoeg met de vele nieuwe zaken die daarin genoemd worden. Dit detail kan beter verderop besproken worden.

Wat betreft het getal -1 heb je overigens in strikt formele zin helemaal gelijk: de reële getallen zijn strikt genomen geen deelverzameling van de complexe getallen. Wel hebben we met elkaar gezien dat de reële getallen isomorf zijn met een deelverzameling van de complexe getallen (a + i×0). Vandaar dat 'losjesweg' een reëel getal toch vaak als een complex getal wordt gezien (met imaginair deel gelijk aan nul). Bob.v.R 1 aug 2006 21:24 (CEST)

Jij bent uitgeslapen, Rob! Dat isomorfisme hebben 'we' inderdaad 'met elkaar' gezien, maar het is welbeschouwd vooral wiskundige voorzichtigheid, net als te stellen dat het natuurlijke getal 1 kleiner is dan 3; dat is waar, maar je kunt het scherper zeggen: 1 is kleiner dan 2. Jij zegt: getallen a+0i zijn isomorf met getallen a. Ik zeg: dat is waar, sterker nog: ze zijn gelijk. Het enige dat zich tegen die stelling verzet is de interpretatie van complexe getallen als koppels. Maar ik zeg: er zijn meer interpretaties mogelijk, bijvoorbeeld de som van een reëel en een imaginair getal, en dan is er niets op tegen dat is gelijk-teken te zetten.

Goed, reële getallen zijn volgens jou dus geen elementen van C. Maar kun je me vertellen waarom de zuiver imaginaire getallen dat dan wél zijn? Koenb 1 aug 2006 23:31 (CEST)

Koen, met 'Rob' neem ik maar even aan dat ik bedoeld ben.

Degene die dit strikt formele punt naar voren brengt (dat reële getallen geen elementen zijn van $\mathbb {C}$) ben ik niet maar jij door hier te stellen dat -1 geen complex getal zou zijn!! Nogmaals, formeel mag je gelijk hebben, maar na ons bewust te zijn van de isomorfe inbedding zou je 'losjesweg' kunnen stellen dat $\mathbb {R}$ een deelverzameling is van $\mathbb {C}$, zoals hier door jou juist weer wel verdedigd wordt. Dus: wat vind je nu eigenlijk? Het is lastig discussiëren met jou omdat je gelijktijdig twee stellingen verdedigt die elkaar tegenspreken.

Wat betreft b×i (en dus ook i, want dan hebben we b=1): deze getallen zijn te schrijven als a + bi en zijn dus onderdeel van $\mathbb {C}$. Waarom we daarover überhaupt nog moeten discussiëren ontgaat mij. Bob.v.R 2 aug 2006 06:15 (CEST)

(Sorry Bob, voor de Rob.) Je kunt best zeggen dat i (ook) een complex getal is, maar het is wel een bijzonder geval, namelijk een complex getal zonder reëel deel. Zonder meer schrijven dat i een complex getal is, is verwarrend omdat dat suggereert dat er ook een reëel deel is. Ik vind dat we de definities scherp moeten houden. Je hebt reële getallen, imaginaire getallen en complexe getallen. Binnen de verzameling van de complexe getallen komen ook zuiver reële en zuiver imaginaire getallen voor, maar dat zijn randgevallen. Getallen op die lijnen horen zowel bij de ene verzameling als bij de andere; in de uitdrukking a+bi wordt de i bedoeld uit de verzameling zuiver imaginaire getallen, dat is het punt dat ik wil maken. Koenb 2 aug 2006 12:37 (CEST)

And so the conclusion is that the proper answer to "is the complex number x+0i the same as the real number x" is "it depends upon your framework." Incidently, the problem with your way of defining the complex numbers is that it is by no means a priori obvious that this defines the complex numbers uniquely (up to isomorphism). I am going to take your word for it that it does. But I would contend that this is not a natural way to define the complex numbers. (citaat uit naive question from a non-mathematician, www.gatago.com) Koenb 2 aug 2006 18:53 (CEST)

Uitgangspunten

Eigenlijk vind ik het onzin om van pre-inleiding te spreken. Het artikel geeft aan het begin een inleiding in het begrip. Vraag is wat daarin moet staan. Een "vervelend" punt daarbij is dat complexe getallen op meer manieren voorgesteld kunnen worden. Mijn mening is dat de opvatting als puntenpaar (a,b), met de daarbij horende vermenigvuldiging niet in de inleiding thuishoort. Het is niet de manier waarop gebruikelijk met complexe getallen gewerkt wordt. Wel wordt deze voorstelling gebruikt als grafische ondersteuning, maar hoe breng je dat in de inleiding. Daarom mijn keuze om alleen over uitdrukkingen a+bi te spreken waarmee gewoon gerekend wordt (wat overigens ook de historische lijn is).

Wat de rol van i betreft zou ik toch niet willen spreken van een dubbelrol, en al helemaal niet als zou i de rol hebben het reele deel en het complexe uit elkaar te houden. Er valt niets uit elkaar te houden. Het gaat er alleen om dat (het complexe getal) i een speciale rol heeft. Door R met i uit te breiden ontstaat C en zodoende kan een complex getal als lineaire combinatie van 1 en i geschreven worden. (Dit moet natuurlijk niet zo in de inleiding, maar vormt de achtergrond.) Ik wil zeker ook al in de inleiding geen onduidelijkheid erover laten dat i zelf een coplex getal is. (Dat is ook hard nodig gezien bv. de reactie van Koenb.)

Dan een opmerking over de zin in de prpeprpeprpeinleiding over de historische redenen om van reeel en imaginair deel te spreken. Je kunt overal "op historische gronden" bij zetten. Dus is daar meestal mee bedoeld dat men wat ongelukkig met de benaming is, maar dat het helaas historisch bepaald is. Ik ben niet ongelukkig met de benaming reel deel en wie dat wel is moet me maar uitlegen waarom. Ik vind de term "imaginair deel" voor b wel wat ongelukkig, dus daar zou ik bij kunnen zetten dat dat helaas historisch bepaald is. Maar,... ik vind dat deze opmerking eigenlijk niet in de inleiding moet staan, vandaar dat die ook al verderop in het artikel staat.

Wat de historie van complexe getallen betreft is het zeker encyclopedische informatie. Maar dan moet het ook goed verteld worden met vermelding van anderen die zich ermee bezighielden. Dat wordt dan nog een heel boekwerk. Voldoende is misschien een korte vermelding en verder te verwijzen naar bestaande info op internet. Wie pakt de handschoen op? Nijdam 1 aug 2006 08:30 (CEST)

Peiling?

Ik zie dat er inmiddels weer allerlei veranderingen in het artikel hebben plaatsgevonden. Steeds blijkt weer dat sommigen, ik weet niet waarom, graag de definitie als koppel (a,b) met de bijbehorende vermenigvuldiging als uitgangspunt willen nemen. Daarover is ook hierboven al uitvoerig gediscussieerd. Mijn voorkeur is de "historische" definitie, die aansluit bij de gebruikelijke voorstelling en manier van werken. Nijdam 1 aug 2006 08:40 (CEST)

Bij zoveel botheid past maar één reactie. Ik kap ermee. Zoek het maar uit. Floris V 1 aug 2006 10:31 (CEST)

Jammer dat op die manier een gebruiker met veel kennis weg wordt gejaagd. Bij een project als Wikipedia is veel en goed overleg nu eenmaal onderdeel van het proces. Botheid past daarbij niet (tenzij een gebruiker zich schuldig zou maken aan vandalisme en/of herhaaldelijk met aperte onzin of grove onjuistheden aan komt zetten). Bob.v.R 1 aug 2006 17:22 (CEST)

Was het overigens nu de bedoeling van Nijdam om een peiling op te gaan zetten? Bob.v.R 1 aug 2006 17:22 (CEST)

@FlorisV: Hierboven heb ik eerder de volgende reactie geschreven die ik hier kopieer, omdat ik denk dat je die niet gelezen hebt:

@FlorisV: Zoals met alles is het van belang te weten waarover het gaat voor men z'n mening geeft. Dat geldt voor dit artikel, waar jij zeker kennis van zaken hebt, maar anderen gezien de opmerkingen die ze maken, bepaald niet. Maar het geldt ook voor de discussie hier, en als je de geschiedenis van het artikel was nagegaan zou je gezien hebben dat mijn reactie niet slaat op jouw nieuwe start, maar op de m.i. ongenuanceerde revert van enkele aanpassingen die ik in die nieuwe start aanbracht. Ik ben het in grote lijnen eens met wat je eerder schreef oveer arikelen in een encyclopedie en je hebt gelijk dat de eerdere tekst dat "complexe getallen ontstaan zijn uit de behoefte ...." niet correct is. Wel is verdedigbaar dat die behoefte heeft bijgedragen aan hun ontstaan, vandaar dat ik de tekst al had gewijzigd in "...voorzien in de behoefte..." met als doel de lezer de relatie met negatieve kwadraten te laten zien. Zie verder hieronder.

Daaruit blijkt wel dat ik beslist FlorisV niet weg wil hebben, integendeel. Wel zou ik graag willen bespreken wat nu eigenlijk de bedoeling is. Zoals ik al aangaf, vind ik het niet didactisch twee mogelijke benaderingen gelijktijdig te introduceren. En mijn voorkeur gaat uit naar de introductie (en daaropvolgende definitie!) als uitdrukking a+bi, omdat dat de gebruikelijke vorm is om met complexe getallen om te gaan. hierboven op de inmiddels ellenlange pagina zijn er allerlei andere opvattingen waaronder ook apert verkeerde, zodat ik vind dat enige omzichtigheid bij weer een verandering geboden is.

Dus: wie met kennis van zaken, geeft z'n mening? Hier wel te verstaan, en niet door diect weer het artikel te veranderen.Nijdam 2 aug 2006 00:02 (CEST)

Tsja

Wat opmerkingen tot slot, waarna ik me definitief uit deze complexen bezorgende sectie terugtrek.

• Ik knap behoorlijk af op de soms apologetische en al te politiek correcte toon van het artikel, alsof het homoseksuelen verdedigt voor een publiek van potenrammers. Inhoudelijk klopt de informatie we, maar de manier waarop het gebracht wordt - zucht.
• Ik knap ook af op de paranoïde opstelling van Nijdam. Ik kan het niet anders benoemen. Eens wat meer vertrouwen hebben in mensen die blijkbaar verstand van zaken hebben kan geen kwaad. Ik was van plan het hele artikel in fasen aan te pakken om het krachtiger en korter te krijgen, maar goed. Als Nijdam vindt dat hij deze tekst moet verdedigen alsof hij hem van God zelf heeft gekregen op de Sinaï ben ik als gewone boerenheikneuter uitgeluld, om het maar eens grof te zeggen.
• Koenb is het levende bewijs van de verwarring wekkende schrijfwijze a + bi voor complexe getallen. Wiskunde is een taal die je moet leren. Soms is die taal nog dubbelzinniger dan natuurlijke taal. Duidelijker dan hier is het bijna niet te krijgen. Het getal i is een zuiver imaginair getal, wat wil zeggen dat het een complex getal is waarvan het reële deel 0 is, maar Koen maakt daar van dat het geen reëel deel heeft. Misschien kun je het formele verschil tussen complexe en reële getallen nog het beste verduidelijken door een vergelijking met R^2 en R^3. Een vlak is wel een deelverzameling van de ruimte als je beide als puntverzameling opvat, maar zodra je ze opvat als geordende getallenduo's en -trio's (x, y) en (x, y, z) gaat dat niet meer op, omdat (x, y) wat anders is dan (x, y, 0).

Dat hij het niet echt snapt kan ik wel volgen, dat Nijdam en Bob niet snappen dat hij het niet snapt - en dat Nijdam mij dan met didactische argumenten te lijf wil - denk er eens over na.

En dan ga ik nu lekker artikelen over prehistorisch Europa bekijken - de groeten, Floris V 2 aug 2006 16:18 (CEST)

Tjah kijk, in commentaar eerder hier op de overlegpagina vreesde ik -zoals gezegd- even dat je het artikel te veel met rompslomp zou inkleden; maar in tegendeel, je laatste wijzigingen (dus voor die revert) waren juist wel to the point: +/- correct, meer geen poging overcorrect en rigoureus te zijn. Genoeg info, maar kort en het niet noodzakelijk uitstellend voor later. Begrijpbaar op een vlot lezend niveau, ideaal om een beeld te krijgen, zonder sluitende definities te geven. Ik zou zeggen, slaap er nog eens over, maar draai dan gerust je wijzigingen terug.... ze lagen dicht bij een goede inleiding; het zou jammer zijn dat zoiets moet verdwijnen voor individuen die geen oren hebben naar de verzuchtingen van anderen... --LimoWreck 2 aug 2006 16:41 (CEST)

Nieuwe (?) inleiding

Voorstel:

Complexe getallen vormen een uitbreiding van de reële getallen. Dat houdt in dat de reële getallen ook complexe getallen zijn en met complexe getallen net zo gerekend wordt als met reële. Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a+bi, met a en b reële getallen. Zo zijn 1 + 2 i, 3 - i, 0.5 - 4.3 i en ook 1 en i complexe getallen. Van het complexe getal a+bi heet a het reële deel en b het imaginaire deel. Het speciale complexe getal i heet de imaginaire eenheid; het heeft de (bijzondere) eigenschap: i² = -1. Van deze eigenschap wordt bij het rekenen gebruikt gemaakt door steeds het kwadraat van i te vervangen door -1.

Graag hieronder commentaar.Nijdam 2 aug 2006 20:13 (CEST)

Dit is eigenlijk best een goed begin, vind ik. Koenb 2 aug 2006 22:26 (CEST)

Hoe dan ook beter dan het kromme Een complex getal is per definitie een paar reële getallen, genaamd het reële deel en het imaginaire deel. Een complex getal wordt meestal geschreven als a + bi, dat is net zoiets als in het artikel over Borneo schrijven: Borneo bestaat uit twee delen, het Maleisische deel en het Indonesische deelHet Maleisische en Indonesische deel en Brunei worden meestal met verschillende kleuren op landkaarten weergegeven. Brunei wordt hier ook als een konijn uit de hoed getoverd, zoals i in de huidige versie. Flyingbird 6 aug 2006 03:27 (CEST)

Is het niet beter om alvorens precieze formuleringen te bespreken, het eerst te hebben over de lastige en (enigszins) fundamentele keuze tussen enerzijds de nadruk leggen op de schrijfwijze a + bi en anderzijds het benadrukken van de schrijfwijze (a, b) ? Bob.v.R 6 aug 2006 03:40 (CEST)

Maar dan blijft die kromme inleiding misschien nog weer maanden staan, door dit soort dingen haken veel mensen denk ik af bij wiskundige onderwerpen, vanzelfsprekende zaken voor de wiskundige zijn vaak a+b-c=adabra voor de leek vanwege verborgen assumpties en impliciete informatie. Flyingbird 6 aug 2006 04:16 (CEST)

Zoals uit veel van de discussies blijkt, ontstaat veel onvrede door de mogelijkheid complexe getallen op verschillende manieren te introduceren. Twee van die mogelijkheden liggen voor de hand, en m.i. enigzins merkwaardig, geven sommigen de voorkeur aan de introcuctie als koppel reele getallen. Als gevolg daarvan is ook de inleiding een mengeling van beide benaderingen geworden. Ik voel er niet voor om in het artikel vooraf over die keuze te spreken. Ook voel ik eigenlijk neit voor een vermenging va nbeide manieren. Zoals al eerder door mij gezegd ben ik een absoluut voorstander om in een encyclopedie bij de inleiding de voorstelling als a+bi te hanteren. Zo ziet ook het "nieuwe" concept er uit. Om een derde herhaling van zetten te voorkomen, zou ik voor we dat doorvoeren, van de mensen die steeds maar weer hameren op de voorstelling als koppel getallen, willen horen wat nou voor dit artikel de voordelen daarvan zijn. Nijdam 6 aug 2006 13:20 (CEST)

Laten we dan meteen voors én tegens van e.e.a. op een rijtje proberen te krijgen. Dan hoeft het namelijk ook geen 'wij/zij' discussie te worden, maar veeleer een goede afweging op inhoudelijke gronden. Bob.v.R 6 aug 2006 13:32 (CEST)

Voor en tegen van introductiewijzes in de pré-inleiding

Voor a + bi

1. het is de gebruikelijke schrijfwijze
2. het is voor zover ik weet de enige schrijfwijze bij het praktisch gebruik; weliswaar wordt implciet bij de grafische voorstelling de notatie (a,b) gebruikt, maar alleen impliciet, want ook dan schrijft men nog steeds a+bi bij het punt (a,b) Nijdam 6 aug 2006 14:05 (CEST)
3. Deze schrijfwijze laat direct zien dat een reëel getal ook een complex getal is en dat ook i zelf complex is Nijdam 6 aug 2006 23:13 (CEST)
4. de lezer wordt in het stadium van de pré-inleiding niet onnodig op de proef gesteld
5. ...

Tegen a + bi

1. het geeft aanleiding tot misverstanden m.b.t. zuiver reële (en zuiver imaginaire) getallen (zie toelichting door Floris)
2. ...

Voor (a,b)

1. de lezer heeft meteen de correcte kaderzetting te pakken
2. Voor zover ik weet wordt deze notatie bij de formele definitie van complexe getallen altijd gebruikt, waarna overgegaan wordt op de notatie a + bi. Zo worden trouwens ook gehele getallen en raionale getllen ingevoerd. Q kun je definiëren als de verzameling {(m, n)|m in N, n in Z} met de somdefinitie (m, n) + (p, q) = (mq + np, pq) en de productdefinitie (m, n)x(p, q) = (mp, nq); vervolgens maak je een equivalentierelatie om van de redundantie af te komen. Voor Z kan iets dergelijks.
   1. reactie: hebben we het nog steeds over de pré-inleiding?

Tegen (a,b)

1. men komt (a,b) tegen in veel andere contexten die niets per se met complexe getallen te maken hebben, het gebruik ervan aan het begin van het artikel kan daardoor verwarrend werken.
2. het rekenen met complexe getallen is dan nog weinig inzichtelijk
3. ...

Verder commentaar

na bwc. Mwah, uit verveling ben ik dit artikel in mijn gebruikersruimte aan het aanpakken, dus ik wil me nu wel even kort in de discussie mengen. Ik ben voorstander van de aanpak met getallenparen (niet:koppels) om de "nodige en voldoende" reden dat de meetkundige interpretatie leidt tot inzicht, en de additieve schrijfwijze aan kan blijven doen als goocheltruc. Beide schrijfwijzen zijn verder gelijkwaardig en de additieve is makkelijker in het gebruik, maar we zeggen ook nog altijd dat de zon op- en ondergaat, ook al is dat feitelijk onjuist. Meer hoeft er niet over gezegd te worden. Floris V 6 aug 2006 13:36 (CEST)

@Tegen 1: Wat zijn die misverstanden??Nijdam 6 aug 2006 14:05 (CEST)

Lezers (en gebruikers) kunnen in verwarring komen bij de vraag of 3 nu wel of geen complex getal is. Bob.v.R 6 aug 2006 14:12 (CEST)

Dit lijkt me een argument voor ipv tegen. In de inleiding staat al direct als voorbeeld dat 1 ook een complex getal is. Bovendien is 3=3+0i, dus complex. In de voorstelling als (a,b) ontstaan juist die problemen, want welk paar (a,b) stelt 3 voor?Nijdam 6 aug 2006 14:55 (CEST)

Het misverstand dat makkelijk kan optreden is dat iemand stelt dat 3 een complex getal is, terwijl de nauwkeurige formulering is dat het mogelijk is om $\mathbb {R}$ isomorf in te bedden in de verzameling $\mathbb {C}$; bij de voorstelling met (geordende) getallenparen is dit makkelijk in te zien; om die reden is het argument 'tegen' Bob.v.R 6 aug 2006 15:45 (CEST)

??Ik begrijp dit echt niet. Ik geef hierboven toch juist aan dat 3 = 3+0i. Het is ook geen misverstand: 3 is een complex getal! Bij de voorstelling als getallenkoppel ontstaat juist een probleem. Verder hierboven hebben we hier toch al over gediscussieerd.Nijdam 6 aug 2006 15:52 (CEST)

Nijdam, je stelt dat 3 = 3+0i, maar in feite heeft Floris ons erop attent gemaakt dat dat eigenlijk pas 'mag' nadat je de isomorfie als 'identiek zijn' hebt aangenomen (terwijl een isomorfie toch nét iets anders is dan identiek zijn). Zie verder de bijdrage door Floris hierboven op 23 jul 2006 08:43 (CEST)

Bob.v.R 6 aug 2006 16:09 (CEST)

????Ik herhaal nog maar een keer: 3 = 3+0i, en dus een complex getal! Isomorfie en inbedding zijn aan de orde bij de voorstelling als getallenpaar. Hierboven heeft FlorisV veel goeds gezegd, maar ook onzin, zoals dat in de uitdrukking a+bi de + niet de gewone optelling zou zijn!?. Ik zal in de reactie van FV van 23 juli 2006 wat commentaar zetten.Nijdam 6 aug 2006 16:41 (CEST)

Het lijkt me eerlijk gezegd wel zo correct om de tekst van Floris op zichzelf wel intact te laten. Ik ga ook niet door teksten van jou heen zitten te rauzen, en Floris zie ik dat ook niet doen.

Verder hoop ik nog steeds (misschien tevergeefs ...) dat we geen 'wij/zij' discussie behoeven te voeren, maar dat we met elkaar de voor- en nadelen van beide benaderingen in beeld kunnen brengen. Het zou mooi zijn, als jij met alle kennis die je hebt, die objectieve aanpak op zou kunnen brengen, en niet probeert je 'tegenstanders' te vermorzelen. Bob.v.R 6 aug 2006 20:50 (CEST)

Het maakt me op OPagina's niet uit of mensen hun commentaar in mijn tekst invoegen. Wel zo gemakkelijk voor de discussie, maar om je een plezier te doen: zie onder.Nijdam 6 aug 2006 21:25 (CEST)

@FlorisV: Belgen spreken van koppel, omdat "paar" in hun ogen ongeordend is, vandaar. Welk inzicht? Wat heeft een onjuist spraakgebruik met de beide juiste voorstellingen te maken?Nijdam 6 aug 2006 14:05 (CEST)

Gebruiker:Floris V/Complex Svp niet aan gaan knoeien. Floris V 6 aug 2006 14:14 (CEST)

O ja, Nederlanders spreken niet van paar maar nadrukkelijk van geordend paar; dus je hebt het koppel geordend paar - koppel zoals je ook het koppel lichaam - veld hebt. Weer een gevalletje differentiatie. Floris V 6 aug 2006 14:16 (CEST)

Hoe zat dat met het verbod op het bewerken van andermans tekst op OP's? Maar eigenlijk wel zo goed - die twee artikelen moeten worden samengevoegd of zo. Ga dat maar aangeven, ik weet de sjablonen daarvoor niet. Floris V 6 aug 2006 14:27 (CEST)

Okay, gedaan. Bob.v.R 6 aug 2006 22:31 (CEST)

Waar gaat dit laatste over??? En waar blijft het antwoord op de beide vragen??Nijdam 6 aug 2006 14:55 (CEST)

Commentaar op FlorisV van 23 juli 2006:

1. In de voorstelling van een complex getal als a+bi is een reeel getal vanzelf complex.
2. In de voorstelling als (a,b) moeten eerst de complexe getallen (a,0) met de reele geidentificeerd worden; daarna is vanzelf (-1,0) reeel.
3. In de voorstelling als a+bi, is de optelling een uitbreiding van de optelling voor reele getallen en als zodanig de "gewone" optelling. De + in de optelling 1 + 2 als reele of complexe getallen is geen andere dan de + in 1 + 2i.
4. Wat is de dubbelzinnigheid in de wiskunde waarop je doelt?
5. De vergelijking in het verhaal over RxR gaat behoorlijk mank. als die al benen heeft. Wat moet hier eigenlijk vergeleken worden??
6. Ik begrijp niets van het verhaal over het uit elkaar houden van delen en de overbodigheid van i. Er hoeft niets uit elkaar gehouden te worden, en als je iets anders introduceert, heb je i misschien niet nodig of omgekeerd. Wat is de zin ervan?

Nijdam 6 aug 2006 21:25 (CEST)

Ad 3: volgens mij bedoelt Floris dat er bij een normale optelling steeds sprake is van het bij elkaar optellen van zaken die zich in hetzelfde domein bevinden (bv. gehele getallen, reële getallen, functies, vectoren, matrices). En als je hier 'a' wilt optellen bij 'bi' dan is dat feitelijk niet mogelijk omdat beide zaken zich niet in hetzelfde domein bevinden.

In dat verband stelt Floris dat de 'i' er in feite vooral is om de a en de b uit elkaar te houden (en uiteraard om via de regel i^2 = -1 een speciaal soort vermenigvuldigingsdefinitie te faciliteren). Dat is een plausibele redenering, die axiomatisch misschien wel het meest zuiver is.

Wat Nijdam doet, overigens zonder dat op deze plaats scherp aan te geven, is een 'i' adjungeren en daarna in het lichaam (in België: veld) dat ontstaat te verklaren: we hebben hier een optelling, en de lezer begrijpt zelf wel hoe die eruit ziet.

Beide aanpakken hebben m.i. absoluut hun voors en tegens, maar (ik herhaal het nog een keer) over dit essentiële punt ben ik er ook niet voor om een 'platte' wellus-nietus discussie te gaan voeren. Bob.v.R 6 aug 2006 22:18 (CEST)

- Eerdere vragen: (3, 0) stelt het complexe getal 3 voor, en 3 stelt het reële getal 3 voor. 3i komt overeen met (0, 3).

-En het onjuiste spraakgebruik: denk maar aan wat wij zeggen over het opgaan en ondergaan van de zon. Dat is ook fout, toch gaan we ermee door. In het geval van de complexe getallen is het ook niet erg belangrijk, meer een opmerking terzijde, maar ik vind het wel nuttig erop te wijzen.

- Bob heeft links toegevoegd aan mijn tekst.

Contra Nijdam

1. Dat is nu juist het misverstand. Heel raak geformuleerd. Hoef ik niets aan toe te voegen.
2. Dat is het isomorfisme. Helemaal duidelijk.
3. Dat is ook een misverstand. 1 + 2 = 3 maar 1 + 2i = ??? De uitkomst is niet 3 en ook niet 3i. Je kunt ze niet optellen! Je zet gewoon de twee delen naast elkaar met een + ertussen en dan zeg je dat je ze echt optelt? Dat is pathetisch. Je kunt er even goed haakjes omheen zetten en een komma ertussen, en dan de i weglaten. Want die is dan opeens overbodig. Ja, hoe zou dat toch komen? Denk er eens over na.
4. Zie hiervoor.
5. De vergelijking gaat alleen mank voor iemand die niet wil zien.
6. Dat je het niet bedrijpt is me volkomen duidelijk. Maar dat zegt iets over jou. Er is een mopje over een boekhouder die op zijn werk één la altijd op slot houdt. Als hij met pensioen gaat storten de andere mensen zich op dat laatje. In het laatje ligt een briefje met daarop de woorden "Debet links, credit rechts". Alsnog getekend, Floris V 6 aug 2006 23:02 (CEST)

Voor alle duidelijkheid: het direct bovenstaande is van de hand van Floris V.

Kun je π en 1 wel optellen?Nijdam 6 aug 2006 22:48 (CEST)

Huh? Als je een optelling van A en B niet kunt vereenvoudigen, is het nog wel een optelling. Of is $x^{2}+x$ opeens geen optelling meer omdat er niet vereenvoudigd kan worden? Flyingbird 6 aug 2006 22:53 (CEST)

Als $f:x\rightarrow x^{2}$ en $g:x\rightarrow x$ allebei functies zijn van $\mathbb {R}$ naar $\mathbb {R}$, dan praten we over zaken die uit dezelfde verzameling komen (namelijk de verzameling bestaande uit functies op domein $\mathbb {R}$), en vanzelfsprekend kan je die dan uitstekend bij elkaar optellen, met als resultaat $h:x\rightarrow x^{2}+x$.

Bob.v.R 6 aug 2006 23:13 (CEST)

Duidelijk, maar als je stelt dat 1 en i allebei elementen zijn van $\mathbb {C}$ is het evengoed analoog, Als $f:x\rightarrow 1$ en $g:x\rightarrow 2i$ allebei functies zijn van $\mathbb {C}$ naar $\mathbb {C}$, dan praten we ook over zaken die uit dezelfde verzameling komen en kun je die ook optellen, met als resultaat $h:x\rightarrow 1+2i$, toch? Flyingbird 6 aug 2006 23:20 (CEST)

Nou, rustig aan, we proberen juist in dit artikel aan te geven wat $\mathbb {C}$ feitelijk is, dus we zitten nu in de fase dat $\mathbb {C}$ nog in de steigers moet worden gezet. Zie echter mijn kleine uitweiding hier beneden. Bob.v.R 6 aug 2006 23:31 (CEST)

Wat bedoel je met optellen? Naast elkaar zetten met een + ertussen en zeggen: nu zijn ze opgeteld?

Ja, je kunt π en 1 optellen. Je krijgt dan een uitkomst die inligt tussen 4,14 en 4,15 en die je door een rij inkrimpende intervallen exact kunt definiëren. Maar het optellen van het reële deel en het imaginaire deel van een complex getal heeft geen betekenis. Zie punt 3. Floris V 6 aug 2006 22:58 (CEST)

Je kunt het reele deel en het imaginaire deel zelfs in jouw opvatting bij elkaa optellen; het resultaat is weer een reel getal. Tel je daarentegen 3 en 2i bij elkaar op dan krijg je als resultaat het complexe getal 3+2i. Duidelijk?Nijdam 6 aug 2006 23:07 (CEST)

@Floris V: Als het geen betekenis zou hebben, zou het denk ik niet zo algemeen gebruikt worden. Een mogelijkheid om het op een elegante manier betekenis te geven, is binnen een cartesisch coördinatenstelsel. (Er zijn denk ik oneindig veel mogelijkheden om het op een onelegante manier betekenis te geven.) Flyingbird 6 aug 2006 23:09 (CEST)

Het "optellen" van reëel deel en imaginair deel zoals Nijdam stelt is een metafoor. Flyingbird: is me bekend. a + bi is volgens mij alleen maar een andere schrijfwijze voor het geordende getallenpaar (a, b), het is net zo goed RxR met optelling en vermenigvuldiging. De twee zijn namelijk isomorf, dus hoe zou het anders kunnen? Floris V 6 aug 2006 23:19 (CEST)

@Flyingbird: je kan 3 en 2i formeel gezien alleen maar optellen door eerst 3 af te beelden op (3, 0) en 2i af te beelden op (0, 2), en vervolgens die twee getallenparen op de gebruikelijke manier bij elkaar op te tellen. Bob.v.R 6 aug 2006 23:23 (CEST)

Het gaat erom dat de + in 2 + 3 een operatie is, en de + in 2 + 3i niet. Die lijkt alleen maar op een operatie. Je bent gewend om 2/7 te laten staan, en 2 + π ook, en denkt dan dat 2 + 3i net zoiets is. Maar het is echt iets anders. Of je nu schrijft 2 + 3i of (2, 3), het is hetzelfde. Dat is de kern van het misverstand, en dat we er hier zo eindeloos over zitten hakketakken bewijst dat er een misverstand is. Floris V 6 aug 2006 23:33 (CEST)

Ik ben aan een ander toetsenbord toe. De shifttoets doet erg vervelend. :-( Floris V 6 aug 2006 23:42 (CEST)

Héél eenvoudig

Ik zal het nog maar eens proberen, op de hurken als het dan echt moet.

Complexe getallen zijn tweedmensionale entiteiten. Of je ze nu schrijft als a + bi of als (a, b) maakt daarbij niets uit. De uitspraak van Nijdam dat in de schrijfwijze 2 + 3i de getallen 2 en 3i worden opgeteld en dan het complexe getal 2 + 3i opleveren komt op mij als een soort getallenmystiek over. Hij staart zich blind op de schrijfwijze. Nijdam: als je in plaats van 2 + 3i zou schrijven 2 † 3i, zou het ook werken. Je neemt dan de verzameling {a † b | a, b reëel} en definieert de som als

a † bi + c † di = a + c † (b + d)i. en dan zie je dat die i alleen maar lastig is, een extra handeling oplevert om het in modern jargon te zeggen.

Het (misschien enige) voordeel van de schrijfwijze (a, b) is dat de tweedimensionaliteit er zo duidelijk uit springt dat je er niet omheen kunt. De eerste schrijfwijze heeft een boel voordelen. het schrijft makkelijker, het bekt makkelijker, en, ook belangrijk, het is sexy en het leidt makkelijker tot mystificatie, zodat je als wiskundige simpele zielen makkelijk voor de gek kunt houden.

Dus als je voor de geïnteresseerde leek een artikel over complexe getallen schrijft, wat doe je dan? Pers je ze dan dat jargon maar door de strot, zoals het in het huidige artikel staat, zonder toelichting of wat, of leg je gewoon uit hoe die namen historisch ontstaan zijn? Het laatste heeft mijn voorkeur, Nijdam wil kennelijk het eerste. Floris V 7 aug 2006 12:23 (CEST)

Floris, jouw analyse lijkt me correct. Een echte optelling is een binaire operator $A\times A\rightarrow A$ en niet $A\times B\rightarrow C$. We kunnen 3 en 2i dus pas bij elkaar optellen nadat we dankzij de isomorfe inbedding het getal 3 'complex gemaakt hebben'; zie mijn opmerking van 6 aug 2006 23:23.

Wat betreft de schrijfwijze als a+bi geldt natuurlijk wel dat deze veel praktische voordelen heeft. Behalve de optelling blijken ook bijzonder veel andere bewerkingen (vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen, ...) op complexe getallen op zo'n manier in elkaar te zitten dat die bij de a+bi schrijfwijze op een natuurlijke manier consistent zijn met dezelfde bewerkingen bij de reële getallen! Echter, met worteltrekken moet wel voorzichtig worden omgegaan zoals ook blijkt uit veel (lange) discussies.

Bob.v.R 7 aug 2006 13:27 (CEST)

Absoluut mee eens dat de schrijfwijze handiger is - dat staat toch ook in mijn uiteenzetting? Ik heb dat nooit ontkend. De schrijfwijze heeft ook mijn duidelijke voorkeur. Maar als je de complexe getallen introduceert is die makkelijke schrijfwijze verwarrend.

Vermoedelijk is een ook een kwestie van notatieblindheid. Ga maar eens een scholier met wiskundeproblemen formules uitleggen. Dan merk je hoe dubbelzinnig die dingen eigenlijk zijn. Neem de vergelijking x^2 - 5x + 4 = 0. Hoe moet je dat lezen? Je kunt het lezen als iets dat je uit moet rekenen, en dan haakt de scholier al af. Hoe kun je iets uitrekenen als je de x niet weet? Catch 22, niet waar? Maar nee, de wiskundige leest het linkerlid niet als iets wat je uit moet rekenen maar als de uitkomt van een berekening. Links staat gewoon een andere schrijfwijze voor het getal 0. Ontbind 0 in factoren, dat levert op de factoren x - 4 en x - 1 en een van die factoren is 0, dus x = 4 of x = 1. Denk er ook aan dat de wiskundige x - 4 en x - 1 steeds als één getal leest - als de uitkomst van een sommetje - en niet als het sommetje, maar alleen wanneer dat het beste resultaat oplevert. Dat de rekenregels voor machtsverheffing - (a + b)^n - ook opgaan voor (a + bi)^n, dat is eigenlijk verbijsterend. Floris V 7 aug 2006 14:32 (CEST)

NB: ik beweerde ook nergens dat je dat ontkend hebt!

Inderdaad is het heel fraai dat het allemaal goed gaat met dat machtsverheffen. De verklaring (door wiskundigen) is uiteraard de consistente wijze waarop er binnen alle interpretaties met de regel i^2 = -1 gewerkt wordt.

Nijdam blijft wat stil in de tussentijd. Zijn aanpak heb ik hierboven al omschreven als: een element adjungeren, en vervolgens zeggen 'er zij hier een optelling'. Maar als je dat gaat ontrafelen, dan kom je denk ik toch op jouw (Floris) redenatie uit.

Ik neem aan dat we allen toch op dezelfde interpretatie uit gaan komen, en hopelijk vervolgens constructief (zonder 'wellus-nietus' discussies dus) de presentatie van de feiten in het artikel kunnen bespreken. Groeten, Bob.v.R 7 aug 2006 15:39 (CEST)

Nou, misschien denkt hij aan de algebraïsche uitbreiding, zoals $\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]=\{a+b{\sqrt {2}}|a,b\in \mathbb {Q} \}$ wat ook weer een lichaam oplevert. Naturlijk werkt de optelling daar wel, omdat je impliciet toch in $\mathbb {R}$ zit te rekenen, en voor de complexe getallen krijg je dan $\mathbb {R} [{\sqrt {-1}}]=\{a+b{\sqrt {-1}}|a,b\in \mathbb {R} \}$. Dat werkt natuurlijk, maar op wat voor niveau ben je dan bezig? Ik vind dat een te abstracte benadering om de gewone lezer mee lastig te vallen. meer iets voor wiskundestudenten in het zoveelste jaar van hun studie.

Door zo de eenvoud van de notatie a + bi nog eens te benadrukken wekte je wel de indruk dat ik tegen die notatie ben. Misschien denkt Nijdam dat ik tegen die notatie ben. En dat we daarom zo'n heisa hebben. Floris V 7 aug 2006 16:28 (CEST)

Ja, misschien heeft Nijdam iets dergelijks in gedachten, maar dat is speculeren. En omdat je een niet-reëel getal hebt toegevoegd, kom je dan toch weer op onze al weer enkele dagen lopende discussie uit.

Uiteraard wil ik hier wel gezegd hebben dat uit een negatief getal géén vierkantswortel kan worden getrokken. Bob.v.R 7 aug 2006 16:57 (CEST)

Betekent dit dan ook, Bob, dat je het complexe getal -1+0i niet tot de macht 1/2 mag verheffen? Koenb 7 aug 2006 18:08 (CEST)

Nog eentje die uit zijn hol kruipt. ;-)

Nee Koenb, hij doelt op mijn bewust provocerende schrijfwijze ${\sqrt {-1}}.$ Trek toch niet van die overijlde conclusies. We zijn geen sectariërs die het bestaan van complexe getallen in twijfel trekken. Ik wil gewoon dat het onderwerp op een voor de leek (dus niet al te wiskundig en zeker niet natuurkundig onderlegde lezer) ingeleid wordt, waarbij het bij tijd en wijle krankzinnig aandoende jargon van verhelderend commentaar wordt voorzien. Verder blijft alles geheel bij het oude. Floris V 7 aug 2006 19:04 (CEST)

Daar was ik al bang voor... Koenb 7 aug 2006 19:56 (CEST)

Voor de leek lijkt het me het duidelijkst, als eerst een inleiding in informele woorden het complexe getal situeert en beschrijft, vervolgens de notatie a+bi wordt gepresenteerd, en verderop in de tekst pas de (a,b)-notatie. Veel leken komen (a,b) in veel contexten tegen die niets met complexe getallen te maken hebben, a+bi is wat dat betreft eenduidiger en minder verwarrend. Ruwweg lijkt dit overeen te komen met wat Nijdam voorstelde. Flyingbird 7 aug 2006 19:47 (CEST)

... en met wat zo ongeveer alle andere wiki's presenteren. Koenb 7 aug 2006 19:50 (CEST)

Onder het kopje 'Voor en tegen' staat een beginnetje van het op een rijtje zetten van de voors en tegens (precies) van het werken met a+bi als voorstelling in de pré-inleiding (versus het werken met geordende getallenparen). Misschien kunnen we daar alsnog de argumenten tegen elkaar afwegen? Bob.v.R 7 aug 2006 20:00 (CEST)

Prima, ik waag een poging, maar ik heb een nogal lange dag achter de rug, iedereen mag zich vrij voelen het te verbeteren. Flyingbird 7 aug 2006 20:56 (CEST)

De hardnekkigheid waarmee Nijdam zijn standpunt verdedigt roept bij mij inmiddels enige bevreemding op; daarom graag aandacht voor het volgende.
Hierboven heb ik opgemerkt: Een echte optelling is een binaire operator $A\times A\rightarrow A$ en niet $A\times B\rightarrow C$. We kunnen 3 en 2i dus pas bij elkaar optellen nadat we dankzij de isomorfe inbedding het getal 3 'complex gemaakt hebben'.
En ook heb ik reeds opgemerkt dat een isomorfe inbedding iets anders is dan een identiteit.
Ook hebben we Floris zien bevestigen dat $\pi$ en 1 bij elkaar kunnen worden opgeteld, en dat het resultaat ligt tussen 4,14 en 4,15. Het reële getal 3 en het zuiver imaginaire getal 2i kunnen niet op een dergelijke wijze worden opgeteld, het blijft een koppel, bestaande uit een reëel deel en een imaginair deel; de 3 en de 2i blijven naast elkaar staan, en zijn als het ware aan elkaar toegevoegd.
Daarnaast het volgende. Floris stelde: je neemt dan de verzameling {a † b | a, b reëel} en definieert de som als a † bi $\omega$ c † di = a + c † (b + d)i. Nijdam wil kijken wat er gebeurt bij het product. Welnu, we definiëren het product (zoals bekend) als a † bi $\psi$ c † di = (ac - bd) † (ad + bc)i. Dat vervolgens (!!!) uit de twee axioma's is af te leiden dat de distributieve eigenschap geldt, toont aan dat we onze definities slim hebben gekozen! Het toont echter niet aan dat † een optelling zou zijn in de zin van de binaire operator die ik hierboven beschreef. De a en de bi zijn even onoptelbaar als de a en de b in (a, b). Bob.v.R 8 aug 2006 00:13 (CEST)

Wat wil je hiermee aantonen? Als je a+bi opvat als (a,b) en de daarvoor geldende rekenregels hanteert, toon je niets aan over de opvatting als a+bi. Je hebt ook niet goed gekeken naar wat ik geschreven heb. De opvatting als a+bi betekent een uitbreiding van de reele getallen en uitbreiding van degeldende rekenregels. Zoals ik liet zien, betekent daarbij de + de gewone optelling zoals die bij de reele getallen geldt.

Niet weer ... hele diepe zucht. Nijdam, die hele aditieve notatie moet wel gerechtvaardigd worden. Het is niet voldoende te zeggen dat het werkt. Als dat zo was kon je ook heel wat makkelijker met reële getallen omspringen. De vermenigvuldigig van complexe getallen kun je heel makkelijk en intuïtief vanuit de aanpak met geordende getallenparen toelichten als je er het isomorfisme met de matrices van draaivermenigvuldigingen bij haalt. Ik heb de zaak nog eens nagekeken in Meulenbeld en Grootendorst (7e druk 1980, natuurlijk niet heilig, maar toch een veel gebruikt boek) en die definiëren de vermenigvuldiging meetkundig, definiëren het product met de som van de argumenten en product van de modulussen. Uiteindelijk bewijzen ze dan de eigenschappen van de schrijfwijze a + bi, die jij hier consequent als gegeven beschouwt. Vooral de distributieve eigenschap, zeggen ze er expres bij, is lastig.

Je stelt je o pals een manager die niet wil luisteren naar wat de mensen op de werkvloer te melden hebben. Dat gaat je nog wel een keer opbreken. Ben je bereid om serieus mee te doen of wil je ons alleen maar stangen? Bewijs je verhaal nou eindelijk een keer. Floris V 8 aug 2006 12:05 (CEST)

Nijdam, je hardnekkigheid valt me behoorlijk tegen. En het valt me op dat je je beweringen niet onderbouwt. Maar ik reageer op je opmerkingen. Wat ik hierboven aantoon was de onjuistheid van jouw insinuatie dat uit het opgaan van de distributiviteit volgt dat de optelling een 'gewone' optelling is. Dat kan daaruit niet worden geconcludeerd; wat jij deed was het verwisselen van definitie en gevolg. De enige conclusie die uit het opgaan van bepaalde distributieve eigenschappen kan worden getrokken is dat de definities van de bewerking $\omega$ en de bewerking $\psi$ slim gekozen zijn.

Verder het volgende. Je zegt dat + een 'gewone' optelling is zoals alle andere optellingen. In jouw visie kan je 3 en 2i dus op een normale manier bij elkaar optellen!! Wil je ons allen dan gaarne tot het juiste inzicht laten komen en ons laten weten wat eruit komt? 3 + 2i = ?

Bob.v.R 8 aug 2006 12:16 (CEST)

Wij wachten in spanning af. Bob.v.R 9 aug 2006 00:07 (CEST)

Nieuwe opzet op Gebruiker:Floris V/Complex

Ach, ik zeg het nog maar eens: ik ben het hele artikel aan het bewerken. De goede stukken wil ik behouden en integreren, wel kan het op allerlei dingen beter door b.v. afbeeldingen kleiner op de pagina te zetten dan nu. Floris V 7 aug 2006 21:42 (CEST)

Begin overgezet, commentaar graag hier, niet door te gaan editen. Floris V 8 aug 2006 00:34 (CEST)

Wijzigingen gezien, zijn we snel klaar. De groeten. Floris V 8 aug 2006 12:07 (CEST)

Na, toch maar verder gegaan. Schiet nu wel lekker op. Floris V 8 aug 2006 22:46 (CEST)

vervolg discussie

Er is weer een heleboel geschreven. Eerst even een reactie op a!bi. Het komt me voor dat Floris alleen maar in termen van getallenkoppels wil denken. Dus: inderdaad a!bi + c!di = (a+c)!(b+d)i; maar toen hield Floris op, net toen het interessant begon te worden, daarom nu het product. We willen gewoon rekenen, dus ! en x zijn distributief:

a!bi x c!di = ac ! adi ! bci ! bdii = ac ! -bd ! (ad!bc)i

Wil dit goed gaan, dan moet ! wel de gewone optelling zijn.

In plaats van al die discussies hier, zou ik liever in de door Bob opgezette "peiling" de voor en nadelen willen zien.Nijdam 7 aug 2006 22:42 (CEST)

Ik kom hierboven van de hand van Floris de volgende merkwaardige uitspraken tegen:

• (3,0) is het complexe getal 3; 3 is het reele getal 3.

Tja?

• a+bi is een andere schrijfwijze voor (a,b)

Dus 3 (reeel!) = 3+0i=(3,0)

• (a,b) is isomorf met a+bi

Het was toch een andere schrijfwijze? ????Nijdam 7 aug 2006 23:09 (CEST)

Ja, als twee dingen isomorf zijn is de schrijfwijze voor het een een alternatieve schrijfwizje voor het ander. Het zijn dan verschillende namen voor hetzelfde (waarom zouden ze verschillend zijn? Pas Occam's scheermes toe). Je beeldt de verzameling (a, b) met optelling en vermenigvuldiging isomorf af op de verzameling a + bi met optelling en vermenigvuldiging. De definitie van de vermenigvuldiging komt bij de notatie (a, b) gekunsteld over, maar dat heb je ook met de definitie van de vermenigvuldiging van gehele en rationale getallen als je die als getallenparen invoert.

Ik heb net nog een oude buurman van me die niet meer heeft dan mavo 3 met vectoren (had hij nog net gehad) uitgelegd hoe het zat met de wortel uit min een. Uitleg: je telt voor het product van twee getallen de hoeken van de vectoren met de x-as op en vermenigvuldigt de lengtes van de vectoren, voor de vector (0, 1) levert dat (-1, 0) op. Ging erin als koek. Als ik had gezegd dat je een getal invoert waarvan het kwadraat per definitie -1 is had hij me waarschijnlijk uitgelachen. Zeg eens eerlijk, dan had hij toch gelijk? Floris V 7 aug 2006 23:29 (CEST) Overigens zou ik het wel waarderen als je onder deze kop alleen commentaar plaatst op mijn nieuwe opzet. Dat houdt de boel overzichtelijk. Floris V 7 aug 2006 23:30 (CEST)

Dan maar een andere kop. Ik denk dat jij ook wel beter weet dan te zeggen dat isomorf hetzelfde is als een andere schrijfwijze. Arme buurman, nou weet hij nog niet dat ixi=-1, en dat is toch zeer relevant voor complexe getallen. Ik mis nog wel wat belangrijker commentaar.Nijdam 7 aug 2006 23:51 (CEST)

Ik mis commentaar, zul je bedoelen. Je ruilt de uit de lucht vallende definnitie van de vermenigvuldiging bij de definitie als getallenparen in voor de uit de lucht vallende definitie van het magische i^2 = -1. Floris V 8 aug 2006 00:05 (CEST)

Ik meen hierboven zojuist (8 aug 2006 00:13) te hebben gereageerd op Nijdam standpunt. Bob.v.R 8 aug 2006 00:22 (CEST)

Eens met je commentaar boven, maar ik reageerde op Nijdam, niet op jou. Floris V 8 aug 2006 00:28 (CEST)

Dat begreep ik, maar ik zou niet willen dat mijn reactie niet gelezen wordt. Vandaar even het attent maken. :-) Bob.v.R 8 aug 2006 00:31 (CEST)

Hierboven merkt Nijdam op: 'Het komt me voor dat Floris alleen maar in termen van getallenkoppels wil denken.' Dit is feitelijk onjuist. Floris verkondigt hier op diverse plaatsen de voordelen van de additieve schrijfwijze. Het enige dat Floris stelde, tijdens de door Nijdam hier ontketende 'wellus-nietus' discussie dat formeel de gebruikte '+' niet de normale + is zoals bij een binaire operator $A\times A\rightarrow A$. Dit betekent inderdaad dat een complex getal formeel gezien een getallenkoppel is, maar volgens mij weet Nijdam dat al lang.

Nijdam, is het echt zo moeilijk om gewoon toe te geven dat je je vergist had? Dan kunnen we over tot de orde van de dag. Bob.v.R 8 aug 2006 12:44 (CEST)

Feitelijk onjuist? Floris geeft wel de voordelen van de "schrijfwijze" a+bi toe, maar zegt tegelijkertijd dat deze schrijfwijze hetzelfde is als een getallenkoppel. Verder heb ik hierboven nog geen reactie gezien op mijn opmerking hoe aan te kijken tegen (a+bi)(c+di). Verder wordt dan toch het artikel veranderd, wat ik eigenlijk gezien de discussie brutaal vind. Ik heb er genoeg van. Het ga jullie goed.Nijdam 8 aug 2006 16:34 (CEST)

Ik wil je er even op wijzen dat de behandeling van complexe getallen als geordende getallenparen is ingevoerd door een zekere William Rowan Hamilton, die de vermenigvuldiging elegant meetkundig definieerde als draaivermenigvuldiging. De notatie a+bi kon pas door die definitie gerechtvaardigd worden. luister, dat je het beter wil weten dan een sukkel als ik, kan ik me nog indenken en is te vergeven. Maar Carl B. Boyer noemt zijn definitie "the definitive view of a complex number as an ordered pair of real numbers ..." (History of Mathematics, 1968, blz. 625. Je moet wel verdomd sterk in je schoenen staan als je dan nog wil volhouden dat het hier gaat om niet meer dan een "alternatieve" opvatting. Teveel cocaïne gebruikt soms? Floris V 8 aug 2006 16:48 (CEST)

procedure

Floris, hierbij stel ik uitdrukkelijk voor om de door jou ingevoerde wijzigingen terug te draaien en het overleg over de benadering van de pré-inleiding eerst af te ronden. Anders dan blijven we aan de gang.
De randvoorwaarde aan de deelnemers aan het overleg die ik hierbij zou willen stellen dat er constructief overlegd wordt (tot nu toe helaas niet altijd geval geweest, hierbij doel ik niet op jou Floris). Bob.v.R 8 aug 2006 16:37 (CEST)

Dat was me nu eens wel duidelijk. Nou ja, ik ben benieuwd hoe Nijdam hard gaat maken dat Hamilton een sukkel was met wie je geen rekening hoeft te houden. Floris V 8 aug 2006 16:54 (CEST)

Ik vind de huidige inleiding voorlopig wel prima; ze heeft er al twee maal gestaan in het verleden ook alleszins. Tenminste iets om op voort bouwen. Zo'n hoop overleg voor wat een simpele intro moet zijn ... We zijn allemaal goed zot ;-) --LimoWreck 8 aug 2006 17:29 (CEST)

Moet je de discussie over sjabbat/sabbat eens zien. Koud is er een beslissing genomen of het gekrakeel begint weer opnieuw; straaks staat de helft van de serverruimte voor de Nl wikipedia vol met die ruzie. Maar verder ben ik het met je eens dat het zonde en jammer is, zo'n geruzie over een futiliteit terwijl er nog veel wiskundeartikelen liggen waar niets aan gebeurt, terwijl ze echt nog niet af zijn. Floris V 8 aug 2006 17:35 (CEST)

Dat allemal gezegd zijnde moet er wel een tekst voor een pré-inleiding zijn. Waar moeten we anders over overleggen? Er staat nu iets waar een zinnig gesprek over mogelijk is (en denk eraan dat ik het begin van het eigenlijke artikel op mijn ruimte ook al aan het bewerken ben geweest. Ik wacht nog steeds op commentaar daarop.) Ik heb daar toch niet voor Pièrre Snot zitten werken? Floris V 8 aug 2006 17:43 (CEST)

Floris V/Complex is tenminste een verhaal met lijn erin, dat moet gezegd worden. De degradatie van de schrijfwijze a+bi doet een beetje pijn, maar na alle tijd die ik over dit onderwerp heb nagedacht en na alle lappen tekst die ik op deze overlegpagina heb gelezen (en geschreven), moet ik bekennen dat deze voorstelling van zaken toch de elegantste en de meest rake is. We zijn allemaal (ik in elk geval) erg gewend aan die i, dat maakt het moeilijk dat ding weg te denken. De radikale opstelling dat een complex getal een punt in een getallenvlak is, en de (draai)vermenigvuldiging toegelicht met de matrixrepresentatie, zegt eigenlijk alles. Daarmee wordt de 'rekenregel' i²=-1 ontmythologiseerd tot een gewone uitkomst van een draaivermenigvuldiging. Prima, eigenlijk. Dit is het soort inzicht dat de lezers mogen verwachten geboden te krijgen. Koenb 8 aug 2006 19:25 (CEST)

Ik ben blij dat je tot inkeer gekomen bent, want je moet wel bedenken dat ik deze lijn al vanaf dag een voorsta. Verder is het gewoon zo dat de schrijfwijze a + bi een paar eeuwen dominant is geweest en dat men er in al die tijd geen bal van begreep, al werden er wel belangrijke resultaten geboekt. Na de definitie van complexe getallen als getallenparen schoot de theorievorming pas als een raket de lucht in. Waarom de moderne lezer lastig vallen met een notatie die het gevolg was van onbegrip en die onbegrip zal oproepen, als het ook makkelijk kan? Tenslotte werken we ook niet meer met vuistbijlen. Verder is het geen "degradatie", want je blijft gewoon a + bi schrijven - notatietje hè, dat overwint alles. Alleen is de magie er wel vanaf. Nou ja, dit is wiskunde, geen magie. Maarre, hoe komt het dat je dit niet allang weet? Het gaat hier om iets dat al weer een eeuwigheid algemeen bekend mag worden verondersteld bij wiskundig onderlegde mensen, en zeker bij de natuurkundigen. Wat moeten die immers met mystiek? Floris V 8 aug 2006 19:56 (CEST)

Zojuist heb ik de versie van 8 aug 2006 12:08 uur hersteld, om twee redenen. De eerste is dat de discussie over de pré-inleiding nog niet afgerond is. De tweede, in alle eerlijkheid opgemerkt, is dat ik deze versie beter vind voor de pré-inleiding. De gekozen formulering is zodanig dat ook Floris toe zal moeten geven dat er geen formele onjuistheden in staan. Tegelijkertijd maakt deze versie het mogelijk de axiomatische onderbouwing met de nieuwe te introduceren bewerkingen $\omega$ en $\psi$ (zie de beschouwingen hierboven), die we dan menen te moeten schrijven als '+' en 'x', uit te stellen tot verderop in het artikel. En dat kan ook goed zonder 'schade' bij de lezer te veroorzaken. Voor de pré-inleiding is het juist prima om gewoon het accent op de meestgebruikte schrijfwijze te leggen (ook al is de optelling † geen optelling in de gebruikelijke zin van het woord).
Maar goed, eigenlijk loopt de discussie nog, en is dit gewoon een argument in het lijstje 'voor a+bi'. Groeten, Bob.v.R 9 aug 2006 00:01 (CEST)

Bob, als je nu eens in plaats van in de gordijnen te vliegen gewoon mijn tekst zou lezen, dan zou je merken dat de notatie a + bi gewoon in de pre-inleiding staat. Wat is er met je? Is het te veel gevraagd te verwachten dat mensen mijn input lezen? Zit ik hier gewoon tegen kippen zonder kop te schrijven die maar lukraak wat kakelen als er iemand wat te berde brengt om die ander het zwijgen op te leggen?

Even wat punten die ik bij het doorwerken van het artikel tegenkwam.

• Onvolledig. Er staat wel in dat z en zijn geconjugeerde deelfde modulus hebben, maar niet dat de argumenten tegengesteld zijn. Zo ontbreekt er meer.
• Redundantie. De complexe geallen worden een keer gedefinieerd als geordende paren in RxR en dan nog eens als Cartesische coördinaten. Hallo, dat is echt twee keer hetzelfde. Geurspoor?
• citaat: "De n^e-machts wortel van een complex getal is dus een regelmatige n-hoek waarvan de punten gelegen zijn op een cirkel met straal

${\sqrt[{n}]{|z|}}$."

Dat is toch niet meer te geloven. Dat men dit laat staan, maar wel te hoop loopt tegen de zog. foute voorstelling als geordende getallenparen. Sommige mensen mogen zich diep gaan schamen. Floris V 9 aug 2006 00:14 (CEST)

Inderdaad kan het geen kwaad om er nog eens kritisch doorheen te lopen. Er mag echter ook wel eens gezegd worden dat er veel goeds in staat. Ik meen dat het vreemde verhaal over de n-hoek van recente datum is?

Zojuist heb ik diverse zaken uit jouw versie 'bijgemengd' (excusez le mot) in de inleiding. Ik blijf echter van mening dat de notatie (a, b) beter kan worden uitgesteld tot in het eigenlijke artikel, zodat de pré-inleiding makkelijker verteerbaar is (zonder 'schade', m.i.). Hier lijkt dus nog een verschil van inzicht te zitten. Groeten, Bob.v.R 9 aug 2006 00:31 (CEST)

Zeg luister eens, iedereen met een of twee jaar middelbare school heeft coördinaten gehad. En dat zijn geordende paren. Dus wat is daar moeilijk of zwaar te verteren aan? Juist de schrijfwijze a + bi, hoe makkelijk ook in het gebruik, doet verwarrend aan. (Denk maar aan de discussie over de betekenis van die +.) De ervaren gebruikers zijn dat allang vergeten. Het enige lastige aan de notatie als geordend paar zijn de definities van som en product, en die staan dan ook niet in de pre-inleiding. Floris V 9 aug 2006 00:40 (CEST)

Nee zeg, dan is zelfs die oude prultekst nog beter. Je gooit de verhelderende verwijzing naar de coördinaten weg en zet er het abracadabra van het reële en imaginaire deel voor in de plaats. Ik dacht dat we de lezer in de pre-inleiding niet zouden overvoeren met jargon en dan smoor je hem erin. Absoluut niet. Floris V 9 aug 2006 00:57 (CEST)

Complex hoor!

Na een oproep in de Kroeg voor vers discussiebloed, mijn visie op dit geheel:

• Het artikel is veel en veel te lang en zou opgesplitst moeten worden in delen.
• Elk van die delen moet een duidelijke voor geinteresseerde leken begrijpelijke inleiding bevatten.
• Er wordt hier op een veel te hoog niveau over gediscussieerd en dat maakt het artikel voor de stevige beta's onder ons erg leuk. Maar die weten dit meestal al. Voor de beta's die nog veel willen leren is het echt helemaal niks.
• Zover ik weet wordt de (a,b) notatie niet op middelbare school niveau gebruikt, een toevoeging alternatief lijkt me prima, maar dan wel de a + bi notatie als uitgangspunt nemen en ook daar de cirkel op tekenen.

Ik denk dat met dit soort specialistische onderwerpen het heel goed is als er ook leken (en daar reken ik mezelf als geologische nep-beta wel toe) er ook naar kijken. Voor Bob, Floris en Nijdam wellicht allemaal gesneden koek, in welk coordinatenstelsel dan ook, maar maak het ook goed voor je publiek. Als mensen geologische artikels niet begrijpen, dan hoor ik het ook graag. Schrijf voor een publiek. Groet, Torero 9 aug 2006 00:33 (CEST)

Ha, een nieuwe! Ik zou hier bijna het welkomsjabloon plaatsen. ;-) Kijken hoe lang je het hier volhoudt. Ik ben al een paar keer afgeknapt, dus je bent gewaarschuwd. Ik ben van plan de huidige tekst te vervangen door een andere.

• Kijk maar eens naar mijn nieuwe opzet. Blijft wel één artikel.
• Dan wordt het bij elkaar nog langer.
• Nou, het is meer dat Nijdam gewoon niet luistert, hij hoopt ons door trolgedrag te ontmoedigen. Waarom weet ik niet. Wat kan hij er voor belang bij hebben dit artikel zo slecht te laten als het is? Door dat alles blijft de discussie in een kringetje ronddraaien, zoals bij sjabbat/sabbat. Gelukkig komt hier geen stemming - ik moet er niet aan denken dat allerlei mensen zonder verstand van deze zaak meedoen met een stemming en dan Nijdam gelijk gaan geven. Dan kun je beter emigreren.
• De aanpak op school wisselt.
• Het zou heel prettig zijn als geïnteresseerden commentaar leveren waaruit duidelijk wordt of het artikel de boel goed uitlegt. Floris V 9 aug 2006 00:50 (CEST)

Hoewel ik de (a,b)-notatie wel in het (Belgisch) middelbaar gezien heb, ga ik grotendeels akkoord met de puntjes van Torero hierboven. Ik ben niet zo erg actief op wikipedia, mijn bijdragen zijn beperkt tot een aantal wiskundepagina's, en ik heb ook niet deelgenomen aan deze discussie maar ik heb ze wel uitvoerig gevolgd. Het is mijn indruk dat het artikel te ingewikkeld gaat worden door een wedstrijd naar een zo rigoureus mogelijke aanpak. De wiskundige subtiliteiten waarover hier uitvoerig gediscussieerd werd komen quasi enkel aan bod bij een universitaire opleiding wiskunde en zijn m.i. vaak eerder verwarrend dan verduidelijkend voor de leek.

Er moet gestreefd worden naar een helder artikel op een niveau dat door een publiek gevolgd kan worden met een basisnotie van getallen en aanverwante wiskundige concepten. Hierbij is het de kunst om wiskundig zo correct mogelijk te zijn, zonder al te veel aandacht te besteden aan zuiver wiskundige details waar de lezer niet eens bij zou stil staan (en hoeft te staan op dit niveau!) als je ze niet vermeldt. Als voorbeeld is de lezer volgens mij niet gediend met een uitleg waarom de + in a+bi niet dezelfde zou zijn als de + in 2+2. Dat neemt niet weg dat er wat de contructie betreft over geordende paren gesproken moet worden, het mag duidelijk zijn dat de complexe getallen tweedimensionaal zijn.

Ik wil hiermee geen afbreuk doen aan de discussies die gevoerd werden, maar aangeven hoe een buitenstaander dit ervaart (want het was min of meer een triootje met meer heen en weer geroep dan constructief overleg, dit met alle respect en zonder verwijtend te willen zijn). Ik besef dat ik hiermee vooral commentaar van aan de wal geef, zonder zelf met concrete voorstellen te komen. Die heb ik niet direct (al wil ik wel een poging doen), maar ik heb eerlijk gezegd tijdens de discussies nooit het gevoel gekregen dat zoiets gewenst was, de heren leken er allemaal ietwat op gebrand om als enige specialist uit het verhaal te komen.

Terwijl ik dit typte is er al een reactie van Floris waaruit blijkt dat extern commentaar toch gewenst is, gelukkig maar zou ik zeggen en mijn excuses als mijn interpretatie van hierboven dan iets te negatief was. Er bestaan moeilijkere onderwerpen dan dit en ook daar bestaan artikels over. Het lijkt me dan dat dit toch moet kunnen lukken, zeker met zo'n zootje ongeregeld/wiskundigen (schrap wat niet past ;-) mvg, TD 9 aug 2006 00:55 (CEST)

Attentie, nieuwe tekst, en vervolg procedure

Ik heb mijn nieuwe opzet hier tijdelijk overheen gezet, kan makkelijk gerevert worden, maar dan leest iedereen tenminste iets waar ik al aardig wat tijd in heb zitten en wordt voorkomen dat iedereen een boel werk steekt in het uitvlooien van wat er weg kan en wat beter moet. Floris V 9 aug 2006 01:04 (CEST)

Aan het stuk Toepassingen en Software kan volgens mij nog een boel verbeterd worden. In zijn huidige vorm is het nogal armzalig. Iemand? Floris V 9 aug 2006 10:54 (CEST)

Je zegt 'tijdelijk'; maar wanneer ga je dan de oude versie weer terugzetten, Floris? V.w.b. de pré-inleiding zitten we op dit moment niet op één lijn, al zijn we elkaar wel enigszins genaderd. Bob.v.R 9 aug 2006 16:12 (CEST)

Deze leek (al heb ik deze stof wel gehad) heeft wat dingetjes aangepast. Iedereen mee eens? Ik vind het zo duidelijker. Het is al beter na de veranderingen van Floris, maar het taalgebruik vind ik af en toe niet mooi en nogal schools. Kleinigheidjes, die veranderd kunnen worden. Een kortere versie zoals Floris maakte, vind ik al een hele verbetering. Torero 9 aug 2006 16:17 (CEST)

Mij is nog steeds niet duidelijk wat Floris verstaat onder 'tijdelijk'. Het lijkt me goed als hij aangeeft wat hij daarmee bedoelt, en met name of hij ook zegt wat hij bedoelt. Bob.v.R 9 aug 2006 17:04 (CEST)

Opzet artikel

• Pre-inleiding. Deze moet zeggen dat complexe getallen bestaan, althans in theorie, zonder de lezer te vermoeien met historisch gegroeide kretologie zoals imaginaire en reële delen. Voor een goed begrip van wat complexe getallen zijn is die terminologie eerder een hindernis. Voer ze in als geordende getallenparen en zeg erbij dat je zze net zo goed kunt schrijven als a + bi omdat dat makkelijker rekent en leest.
• Definitie. Daar moeten dus de complexe getallen worden ingevoerd, op een heldere wijze, die ook voor de niet afgestudeerde wiskundige te volgen is. Ook de afgeleide zaken, zoals modulus, argument, geconjugeerde horen daar aan de orde te komen. Verder moet de behandeling compleet zijn. Dus niet, zoals in de oude tekst, van de geconjugeerde van een complex getal zeggen dat z en z* dezelfde modulus hebben en vergeten te vermelden dat de argumenten tegengesteld zijn.
• Overige zaken, zoals gevolgen voor exponentiële en goniometrische functies, leuke stellingen en formules, toepassingen, evt. software (maar daar moet dan wel relevante informatie over staan). Er kan b.v. nog bij een bespreking van hoe je tweedegraadsvergelijkingen oplost, of de obligate toepassing voor het oplossen van meetkundevraagstukken - al kom je dan wel erg dicht bij de leerboekeninhoud. Floris V 9 aug 2006 14:25 (CEST)

Na "Definitie" en voor "Overige zaken" zou ik de Rekenregels zetten, waarin je laat zien hoe je vermenigvuldigt, machtsverheft ed, maar zonder bewijsvoering (wie zit daarop te wachten?) Daarna een hoofdstukje Bewijsvoering (als dat al moet) en tenslotte Toepassingen. Koenb 9 aug 2006 15:12 (CEST)

De rekenregels komen al bij de definitie - want wat zijn getallen zonder rekenregels? Floris V 9 aug 2006 15:16 (CEST)

Wat betreft de pré-inleiding ben ik het niet eens met bovenstaande opzet. In dat deel moet de lezer niet onnodig worden gekweld, en dient gewoon de gangbare notatie van het voor de lezer nieuwe concept te worden geïntroduceerd, dus nog zonder de formeel weliswaar correcte opbouw met getallenparen (a, b). Reëel en imaginair deel zouden m.i. in de pré-inleiding gewoon moeten worden genoemd. Bob.v.R 9 aug 2006 16:16 (CEST)

Maar beste jongen, die termen verduidelijken daar toch niets? Denk nou eens na! Als de benamingen reëel en imaginair deel naou nog informatief of werkelijk beschrijvend waren, vooruit. maar ze zijn even erg als de namen van de 'zeeën' op de maan. Je kunt net zo goed zeggen dat een complex getal dus een complex is dat uit twee getallen bestaat. Binnen de wiskunde houdt men ervan de geschiedenis van het vak levend te houden door oude benamingen te blijven hanteren, dat is echt de enige reden waarom ze nu nog gebruikt worden, niet omdat ze zo duidelijk zijn, want dat zijn ze niet. Ik heb de geschiedenis van de discussie een beetje door zitten nemen en toen viel het me op dat je een paar maanden geleden iets heel verstandigs zewi, waar ik het helemaal mee eens ben, namelijk dat je de geïntereseerde leek niet meteen moet gaan vervelen met definities, jargon en wat dies meer zij. Ik zou zeggen, hou je daaraan.

Ik heb in deze opzet een flink deel van de oude tekst geïntegreerd, alleen wel dingen naar voren gehaald en veel geschrapt. Een discussie over de emrites van de oude tekst lijkt me niet erg zinvol, want die zijn er niet. Verschillende mensen hebben daar onafhankelijlijk van elkaar en zonder al te veel te letten op wat er al stond hun mening gegeven, het lijkt verdorie wel het Nieuwe Testament, met steeds weer een nieuwe geïnspireerde interpretatie van het getal i als het vleesgeworden woord Gods, met de schrijver als zijn profeet. Sorry als dit grof overkomt. Floris V 9 aug 2006 16:37 (CEST)

Beste Floris, je insinuatie dat ik niet na zou denken onderschrijf ik vanzelfsprekend niet. Ik neem aan dat je daar begrip voor hebt.

De bedoeling van Wikipedia is om de lezer van informatie te voorzien, maar niet om er zelf informatie bij te bedenken, en ook niet om lopend onderzoek op te presenteren.

Het is dus niet de bedoeling van wikipedia om voor de muziek uit te gaan lopen. Nee, de feiten zoals ze nu zijn dienen gewoon zo toegankelijk mogelijk worden gepresenteerd. Jouw pleidooi om benamingen die binnen de huidige wiskunde gangbaar zijn ongenoemd te laten wordt door mij dan niet gesteund. Reëel en imaginair deel van het complex getal zijn overigens gewoon goed gedefinieerde begrippen. Om die af te doen als kretologie vind ik vrij demagogisch. Groeten, Bob.v.R 9 aug 2006 16:56 (CEST)

Als ik weer even mag inspringen, maar dat staat toch ook in het artikel? Stukjes als "het is duidelijk dat deze notatie de voorkeur verdient" horen bijvoorbeeld NIET in het artikel. Dat moet eruit. Maar na de uitleg van nu, is de haakjesnotatie voor mij goed te begrijpen. Ik hoop andere leken op dit soort artikelen te krijgen, want jongens kom op, jullie zijn vet beta, maar dat is niet de doelgroep. Torero 9 aug 2006 17:01 (CEST)

(na bwc) Maar ze komen bij de definitie wel aan bod. Dat is toch vroeg genoeg? Je lijkt op iemand die bij mensen te eten is en als de soep wordt opgediend vraagt of er geen hoofdgerecht komt. Geduld. Verder insinueer ik niet dat je niet nadenkt, maar stel dat je op dat moment niet nadacht. Zoiets overkomt mij ook geregeld. Ik lop in mij opzet niet voor de muziek uit. Ik vind het alleen ongepast om bij een etentje alle gerechten, van voorgerecht tot nagerecht, al meteen op tafel te kwakken.

Verder vind ik dat je best mag zeggen dat een bepaalde schrijfwijze de voorkeur heeft over een andere. Dat is gewoon de vaststelling van een feit waaraan geen mens zich kan storen - ja, tenzij iemand beweert dat dat de schrijfwijze als (a, b) een Ierse uitvinding is, erop gericht de beschaving naar de kloten te helpen. Dan moet je de dokter erbij halen. Ik ben tegen het twee keer plaatsen van hetzelfde plaatje, zet het dan wat lager. Als we moeten gaan aannemen dat de lezer niet wat op een neer kan scrollen kunnen we dit artikel beter schrappen en alleen nog artikelen over rekenen met getallen onder de 100 plaatsen. Floris V 9 aug 2006 17:07 (CEST)

Na bwc, @Torero. Dat de haakjesnotatie goed te begrijpen is, dat is mooi. Hij is ook niet fout, maar hij hoort niet in de pré-inleiding te staan. In de pré-inleiding behoort de lezer gewoon een zeer korte introductie te krijgen op het begrip 'complex getal' zoals dat vandaag de dag gezien wordt. Niet minder, en ook niet meer. Bob.v.R 9 aug 2006 17:10 (CEST)

Floris, met de zaken omdraaien komen we er ook niet; sterker nog, daarmee vertroebel je de zaken alleen maar.

Jij wilt in de pré-inleiding zowel de gangbare notatie als de notatie met getallenparen aan de orde stellen, terwijl ik juist degene ben die zegt dat in de pré-inleiding we ons moeten beperken tot de gangbare notatie. Bob.v.R 9 aug 2006 17:14 (CEST)

Laat maar, zoek het maar uit jongen. Floris V 9 aug 2006 17:15 (CEST)

Floris, als ik volgens jou de zaken verkeerd weergeef, dan lees ik het hier graag. Zoals je nu reageert, valt me toch wel flink van je tegen; in het verleden hebben we best goed overleg gehad, maar nu merk ik dat je jouw teksten er doorheen begint te drammen, en mijn oprechte mening met vreemde metaforen probeert te verdraaien.

Als je reageert, kom dan a.u.b. met een inhoudelijke reactie, en niet met 'sneren' of verkeerd gekozen beeldspraken.

Zou je overigens nog wel willen reageren op mijn vragen hierbovenaan? Groeten, Bob.v.R 9 aug 2006 17:49 (CEST)

Nog een keer. Oké, ik verloor mijn geduld en werd hatelijk. Dit is een algemene encyclopedie. Bedoeld voor een algemeen publiek. Komt er dus een algemeen publiek dat wil weten wat complexe getallen zijn. Die zet je dus geen traktaat voor dat zo uit een leerboek algebra zou kunnen komen, want dan kun je wel meteen daarnaar doorverwijzen. Dus je begint met een verhaal dat voor iemand met zeg twee jaar middelbaar onderwijs nog makkelijk te volgen is, zonder specifiek jargon dus. Wat is de makkelijkste manier om te laten zien wat complexe getallen zijn? Ik denk: coördinaten van punten in een vlak. Dat kent iedereen. De optelling en vermenigvuldiging zijn makkelik duidelijk te maken, en rotaties en translaties zijn ook voor de meeste leken nog te volgen. Maar hoe eenvoudig de schrijfwijze a + bi ook oogt, en wij wiskundigen zij er bovendien allang aan gewend, de rechtvaardiging voor deze manier van rekenen is niet kinderachtig. Voor de leek ziet het er uit als regelrechte hocus pokus - kijk er het begin van deze OP maar op na. Het ligt niet voor de hand! Gewone mensen hebben hier echt moeite mee! Het moet geen goocheltruc lijken. Je kunt niet gewoon zeggen: het werkt toch? - want dan hoef je bij de definitie van reële getallen ook niet met Couchyrijen aan te komen zetten. Hoe rechtvaardig je dus het gereken met a + bi? Als je daarvoor algebraïsche uitbreidingen wilt gebruiken, denk er dan aan dat dat zelfs de doorsnee tweedegraads bevoegde leraar boven de pet gaat. Nuf said. Daarom dus: in de inleiding alleen zeggen dat het punten in een vlak zijn, en de schrijfwijze a + bi terloops noemen, zonder op details en jargon in te gaan. Wie daar genoeg aan heeft kan in vrede heengaan. Bij de definitie van complexe getallen moet je wel een boel uit de kast halen, maar dat mag de lezer dan ook verwachten. Dan nog vind ik dat rare namen best nader mogen worden toegelicht. Kortom, wel streng zijn in de zin dat je scherp en wiskundig zuiver formuleert, maar anders dan in het doorsnee leerboek meer uitleg geven. Nou, als dat niet duidelijk is, dan weet ik het niet meer. Floris V 10 aug 2006 00:59 (CEST)

Dan nog een paar dingen. "Voel je vrij en ga je gang" zeggen ze bij Wikipedia. Dat is hier wél te merken. Ik begrijp dat de bèta's hier knotsgek worden van de leken die niets van complexe getallen afweten maar er wel over schrijven. Maar de huisige tekst rammelt, in incompleet en er staan gewoon aperte onjuistheden in, en niemand doet er wat aan.

Ik zie het niet zitten om over elke zin een week of langer te vergaderen. Dan doe ik liever wat anders. Zo belangrijk is dat artikel nou ook weer niet. Maar je zou dit artikel moeten kunnen nomineren voor de schandpaal. Floris V 10 aug 2006 12:45 (CEST)

Oude tekst maar weer teruggezet. Floris V 9 aug 2006 19:08 (CEST)

Op zichzelf heb ik geen probleem met het gezamenlijk hoofdstuk voor hoofdstuk doorlopen van het artikel, en kijken waar verbeteringen moeten of kunnen worden doorgevoerd. Het lastige is echter, dat reeds bij het allereerste begin van het artikel, de pré-inleiding, we niet tot overeenstemming kunnen komen. De pré-inleiding moet volgens mij kort en zo duidelijk mogelijk aangeven waar het over gaat; en hij moet vanzelfsprekend aansluiten bij de status quo. Vandaar dat ik van mening ben dat de definitie met getallenparen pas later in het artikel aan bod moet komen. Ook een lezer die alleen de pré-inleiding gezien heeft, moet toch al iets aan informatie hebben opgepakt. En die informatie moet dan gaan over het begrip zoals het vandaag gebruikt wordt, en niet zozeer over vernieuwingsideeën van Wikipedianen.
Jouw betoog dat de '+' in a+bi iets anders is dan de gebruikelijke binaire operator, is volgens mij weliswaar correct, maar mijns inziens niet dermate zwaarwegend dat we in de pré-inleiding de lezer al moeten confronteren met de getallenparen. De lezer, voor wie hebt begrip 'complex getal' nog niet of nauwelijks bekend is, is m.i. gebaat bij het zien van uitsluitend de a+bi. Mocht hij ooit ergens anders complexe getallen tegenkomen of tegen zijn gekomen, dan kan hij direct het verband zien.
Dat is mijn mening over de pré-inleiding, inclusief de argumenten die ik daarvoor heb.

Doordat de discussie tussen ons bij het eerste deel van het artikel is blijven steken, zijn we dus helaas aan de rest niet toegekomen.

Op zichzelf ben ik echter zeker bereid om te kijken waar het artikel kan worden verbeterd, mits in constructieve sfeer en met onderling respect. Groeten, Bob.v.R 10 aug 2006 14:10 (CEST)

Op mijn overlegpagina heb ik een mogelijke versie van het eerste deel van de pré-inleiding neergezet. Bob.v.R 10 aug 2006 16:26 (CEST)

De versie is gebaseerd op jouw versie, maar de (a, b) voorstelling heb ik eruit gehaald, gebaseerd op de inhoudelijke argumenten die ik hier direct boven gegeven heb. Wellicht dat je deze versie kan lezen en kan laten weten wat je ervan vindt. Bob.v.R 11 aug 2006 11:35 (CEST)

Eigenlijk vind ik dat je het best zelf af moet kunnen. Twee kapiteins op dit schip is duidelijk niet goed. Ga gerust je gang, ik ga niets meer reverten. Ik stort me gewoon op andere onderwerpen. Er is hier genoeg te doen. Floris V 11 aug 2006 14:26 (CEST)

Nieuwe radikale intro

Ik waag het er maar weer eens op om dit artikel leesbaar en begrijpelijk te maken. Mijn (toegegeven, ietwat radikale intro) begint nu zo:

Een complex getal is een punt in een tweedimensionale ruimte, het complexe vlak geheten. Traditioneel wordt een complex getal z geschreven als een som: $z=a+bi$; Hierin zijn a en b twee 'gewone' getallen, en i een factor die wordt gebruikt om de twee delen van de som van elkaar te scheiden.

Heren wiskundeleraren, houdt uw pistolen aub in de holster! Mijn bedoeling is de aandacht van de lezer vast te houden en hem/haar meteen een beeld te geven waar hij/zij wat aan heeft. Het is eenvoudig: een punt in een vlak, daar kan zelfs een kleuter wat mee. Het is ook nog eens een correcte representatie, en ik stel de filosofische en tot controverses leidende interpretatie van de 'i' uit tot later. Dat er op dat complexe vlak een rotatievermenigvuldiging gedefinieerd is, waarmee de adembenemende mogelijkheden ontstaan, kunnen we verderop aan de orde stellen. Koenb 12 aug 2006 23:26 (CEST)

Tja, de inkt is nog niet droog, en de intro is al weer bijna 3x zo lang geworden. En is het nu beter? De allereerste regel kan zonder verlies aan informatie worden weggelaten. daarna wordt de arme lezer meteen lastig gevallen met "geordend paar", "reëel getal", "imaginaire eenheid" en de onbegrijpelijke rekenregel i²=-1. Zucht. Koenb 13 aug 2006 09:35 (CEST)

De allereerste regel is voor de leek juist handig, een situering van het begrip, maar het kan nog wel fraaier geformuleerd worden. Hoezo zouden leken zich meer kunnen voorstellen bij een punt in een tweedimensionale ruimte dat een getal is? 🙂 Iets als dit als eerste zin: De uitdrukking Complex getal is een begrip uit de wiskunde dat ook in andere exacte vakken, zoals de natuurkunde, een belangrijke rol speelt. lijkt me geschikter dan dit: Een complex getal is een punt in een tweedimensionale ruimte, het complexe vlak geheten.Flyingbird 13 aug 2006 09:53 (CEST)

Tja, nu je het zegt... Maar heb je wel eens gekeken naar het begrip 'punt' in niet-euclidische ruimtes? Dat is óók contra-intuïtief. Koenb 13 aug 2006 14:59 (CEST)

Waarom staat complex met een hoofdletter in lopende tekst? Wat doet "natuurkunde" daar opeens in de inleiding? Zowat alle wiskunde vindt wel ergens toepassing in de natuurkunde (en andere wetenschappen), maar dit artikel gaat in se toch over het wiskundig speeltje "complexe getallen"? Voorstel, gebaseerd op de huidige inleiding:

In de wiskunde zijn complexe getallen een uitbreiding van de reële getallen. Zoals de reële getallen overeenkomen met punten op een rechte, correspondeert elk complex getal met een punt uit een vlak. Een complex getal kan men dus karakteriseren door een geordend paar of koppel reële getallen (a,b). De gebruikelijke schrijfwijze van een complex getal is a + bi waarin i een bijzonder complex getal voorstelt, de imaginaire eenheid, met als eigenschap i² = -1.

De notatie (a,b) komt nu niet uit de lucht gevallen omdat er duidelijk aangegeven wordt dat je complexe getallen kan zien als punten in een vlak. Zonder dieper op die notatie in te gaan wordt ook de gebruikelijke schrijfwijze gegeven met de fundamentele eigenschap van i. Informatie over rekenregels en toepassingen in natuurkunde volgen beter later in het artikel. TD 13 aug 2006 15:25 (CEST)

Die hoofdletter was ik vergeten te veranderen nadat ik de woorden De uitdrukking ervoor had geplaatst, en natuurkunde noemde ik ook als voorbeeld, om de intro voor de volslagen leek wat vriendelijker te maken, maar vooruit, dan maar wat meer met de deur in huis vallen, de meeste leken zullen toch wel snel afhaken. 🙂 Flyingbird 14 aug 2006 07:24 (CEST)

Zie mijn bijdrage van 10 aug 2006 14:10 hierboven. Bob.v.R 13 aug 2006 15:31 (CEST)

Beste Bob, die heb ik gezien maar ik vrees dat er geen consensus is over het al dan niet vermelden van die paren. Ik denk niet dat het een goed idee is om met formele argumenten daarover aan te draven in de inleiding, maar dat gebeurt m.i. nu ook niet. Door aan te geven dat complexe getallen punten zijn in een vlak, is het vrij logisch dat je ze dus kan voorstellen als (a,b); zoals men wellicht gewend is van punten. Wat mij betreft kan dat ook weggelaten worden maar wat er nu staat vind ik nog minder (ook door de details die ik hierboven aanhaalde), we vermelden "geordend paar" maar schrijven dan a en b ipv het toch welbekende (a,b); vlees noch vis... TD 13 aug 2006 15:45 (CEST)

Een complex getal wordt nu eenmaal geschreven als a+bi, dus om in de pré-inleiding al met (a, b) aan te komen zetten lijkt me niet goed, zoals ik inderdaad hierboven nader en meer uitgewerkt heb toegelicht. Het zorgpunt dat je noemt bij de huidige versie kan ik begrijpen. Misschien kunnen we in de huidige versie de zin

Een complex getal is zodoende een geordend paar of koppel reële getallen a en b, dat echter doorgaans weergegeven wordt als a + bi.

vervangen door

Een complex getal is zodoende een paar reële getallen a en b, dat weergegeven wordt als a + bi.

? Groeten, Bob.v.R 13 aug 2006 16:12 (CEST)

Voor mij is dat oké, maar gezien mijn andere kleine opmerkingen zie ik dan liever die aanpassing in de versie die ik net gaf, dus:

In de wiskunde zijn complexe getallen een uitbreiding van de reële getallen. Zoals de reële getallen overeenkomen met punten op een rechte, correspondeert elk complex getal met een punt uit een vlak. Een complex getal is zodoende een paar reële getallen a en b, dat gewoonlijk weergegeven wordt als a + bi. Hierin is i een bijzonder complex getal, de imaginaire eenheid, met als eigenschap i² = -1.

Als het je niet stoort, heb ik voor de volledigheid "gewoonlijk" toegevoegd aan die notatie. TD 13 aug 2006 16:36 (CEST)

Wat mij betreft akkoord. Bob.v.R 13 aug 2006 16:49 (CEST)

Aangepast. TD 13 aug 2006 16:53 (CEST)

dit lijkt me eigenlijk nu eens een goede korte intro to the point.... situering: in de wiskunde. Uitbreiding reële getallen: wordt vermeld. Dat het een paar is: ook, implicitiet via uitbreiding. Dé enige courante notatie, namelijk a+bi zit er in, zonder overbodige rompslomp, en korte verklaring i zit er ook in. Wat mij betreft zo houden, zonder er nog extra omslachtig geleuter in te steken; dat kan verderop wel in de definities; dit lijkt me kernachtig, voldoende en toch niet te veel rond de pot draaiend :-) --LimoWreck 13 aug 2006 21:22 (CEST)

Mooi, dan zijn we alvast met drie die hiermee akkoord kunnen gaan. Persoonlijk vind ik de regel onder die inleiding (maar voor de inhoud) eigenlijk maar matig, maar misschien vinden anderen het belangrijk daar al toepassingen te vernoemen? Ik zie dat liever uitgebreider, verderop in het artikel. TD 13 aug 2006 21:40 (CEST)

Foutje, bedankt

Citaat van door een anoniem toegevoegde tekst op 19 oktober 2004 (uit een deel dat verschillende malen door vandalen verwijderd en door ijverige medewerkers hersteld is):

De n^e-machts wortel van een complex getal is dus een regelmatige n-hoek waarvan de punten gelegen zijn op een cirkel met straal

${\sqrt[{n}]{|z|}}$.

Een discussie over hoe dat beter kan lijkt me zinvoller dan een discussie over de formulering van de inleiding of pre-inleiding van het artikel. Floris V 13 aug 2006 15:05 (CEST)

Nou goed, wat dacht je van deze:

De n^e-machts wortel van een complex getal is dus een verzameling van n punten, regelmatig verdeeld over een cirkel met straal

${\sqrt[{n}]{|z|}}$.

Dat is toch waar, of niet? Koenb 14 aug 2006 07:33 (CEST)

Of deze:

De n^e-machtswortels van een complex getal zijn in het complexe vlak dus precies n punten, regelmatig verdeeld over een cirkel om de oorsprong, met straal

${\sqrt[{n}]{|z|}}$.

Bob.v.R 14 aug 2006 10:07 (CEST)

Is ietsje beter. Overigens zag ik de volgende interesante link: Wikipedia:Wat_Wikipedia_niet_is Vooral het stuk onder Wetenschappelijke verhandelingen is aardig. Hou dat in gedachten bij de bewerking van het artikel in zijn geheel, en de pre-inleiding in het bijzonder. Floris V 14 aug 2006 10:24 (CEST)

Hoofdwaarde

Nu we het toch over wortels hebben, wil ik de volgende kwestie opwerpen. In het artikel zoals het nu is vinden we onder het kopje Hoofdwaarde onder Complexe Wortelfuncties de volgende definitie:

Zijn we geïnteresseerd in een unieke oplossing voor de wortelfunctie, dan kunnen we die waarde kiezen die gebaseerd is op de hoofdwaarde van arg(z) en daar weer de hoofdwaarde van nemen. In het bijzonder vinden we zo als 'unieke' wortel voor -1 de waarde i.

Passen we dit verhaal toe op de derdemachtswortel van -1, dan krijg je dit: de hoofdwaarde van het argument van -1 is pi, dus is de hoofdwaarde van de derdemachtswortel van -1 ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}i$. Is dat echt de bedoeling?
Ten tweede: de hoofdwaarde van arg(z) is dubbelop, want de notatie arg(z) is gedefiniëerd als de hoofdwaarde van het argument;
en ten derde: als we eenmaal de hoofdwaarde van het argument hebben gekozen als basis voor het berekenen van de wortel, hoe kunnen we van het resultaat daarvan dan nog een 'hoofdwaarde' nemen?
Ik heb wel eens ergens gelezen dat als hoofdwaarde van de wortel een waarde in hetzelfde kwadrant wordt gekozen; dat gaat goed voor de derdemachtswortel uit -1, maar juist weer niet voor de vierkantswortel uit -1... Wie kan hier iets zinnigs over zeggen? Koenb 15 aug 2006 20:20 (CEST)