Aangeschreven cirkel

In de meetkunde is een aangeschreven cirkel van een driehoek een cirkel die één zijde raakt en tevens raakt aan de verlengden van beide andere zijden. Elke driehoek heeft drie aangeschreven cirkels.

Aangeschreven cirkel

De ingeschreven (paars) en drie aangeschreven (blauw) cirkels

Het middelpunt van een aangeschreven cirkel vindt men door het snijden van twee buitenbissectrices van hoeken van de driehoek, en ligt op de binnenbissectrice van de derde hoek.

Middelpunten

De middelpunten van de aangeschreven cirkels worden meestal aangeduid met $\,I_{a}$, $\,I_{b}$ en $\,I_{c}$, zodanig dat bijvoorbeeld $I_{a}$ op de binnenbissectrice van A ligt. Barycentrische coördinaten zijn

• $\displaystyle I_{a}=(-a:b:c)$
• $\displaystyle I_{b}=(a:-b:c)$
• $\displaystyle I_{c}=(a:b:-c)$

De driehoek $\,I_{a}I_{b}I_{c}$ is de antivoetpuntsdriehoek van het middelpunt van de ingeschreven cirkel.

Stralen

De stralen van de aangeschreven cirkels worden meestal aangeduid met $\,r_{a}$, $\,r_{b}$ en $\,r_{c}$. Formules voor $\,r_{a}$ zijn:

• $\displaystyle r_{a}={\frac {\Delta }{s-a}}$,
• $\displaystyle r_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{-a+b+c}}}$,
• $\displaystyle r_{a}={\frac {abc}{4(s-a)R}}$.

Hierin is R de straal van de omgeschreven cirkel, $\,\Delta$ de oppervlakte van ABC en s de halve omtrek.

Verbanden met de straal r van de ingeschreven cirkel worden gegeven door:

• $\displaystyle rr_{a}r_{b}r_{c}=\Delta ^{2}$
• $\displaystyle {\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{c}}}={\frac {1}{r}}$
• $\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}-r=4R$

Zie ook

• Ingeschreven cirkel
• Menglineair ingeschreven cirkel
• Omgeschreven cirkel
• Punt van Nagel
• Rechte van Nagel

Bronnen, noten en/of referenties

• Eric W. Weisstein Excircles, MathWorld--A Wolfram Web Resource