Bolcoördinaten

Bolcoördinaten vormen een driedimensionaal coördinatenstelsel, vergelijkbaar met het tweedimensionale stelsel van poolcoördinaten. Net als in twee dimensies wordt in drie dimensies de afstand $r$ van het punt $P$ tot de oorsprong als eerste coördinaat gebruikt. De beide andere coördinaten zijn hoeken. De tweede coördinaat is de hoek $\theta$ die de lijn $OP$ met de positieve z-as maakt, dus met een waarde in het interval $[0,\pi ]$. De derde coördinaat is de hoek $\varphi$ die de projectie van $OP$ in het $xy$-vlak maakt met de positieve $x$-as. Opgemerkt moet worden dat de hier gebruikte notatie de gebruikelijke is in de natuurkunde en materiaalkunde. In een wiskundige context worden vaak de rollen van $\theta$ en $\varphi$ omgewisseld, wat een bron van verwarring is. Ook wordt wel in plaats van $r$ het symbool $\rho$ gebruikt.

Punt $(r,\theta ,\varphi )$ bepaald door bolcoördinaten met de voerstraal $r$ en de twee hoeken $\theta$ en $\varphi$

Het verband tussen de cartesische coördinaten $(x,y,z)$ en de bolcoördinaten $(r,\theta ,\varphi )$ wordt gegeven door:

$x=r\ \sin(\theta )\cos(\varphi )$

$y=r\ \sin(\theta )\sin(\varphi )$

$z=r\ \cos(\theta )$

Op de $z$-as is het stelsel gedegenereerd: voor $\theta =0$ doet de hoek $\varphi$ niet ter zake en geldt $(x,y,z)=(0,0,r)$. Evenzo: voor $\theta =\pi$ geldt $(x,y,z)=(0,0,-r)$. Voor $r=0$ doen de hoeken $\theta$ en $\varphi$ niet ter zake en geldt $(x,y,z)=(0,0,0)$.

Jacobiaan

De jacobi-matrix van deze transformatie is:

$J={\frac {\partial (r,\theta ,\varphi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {y}{r}}&{\frac {z}{r}}\\{\frac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin(\theta )\cos(\varphi )&\sin(\theta )\sin(\varphi )&\cos(\theta )\\{\frac {1}{r}}\cos(\theta )\cos(\varphi )&{\frac {1}{r}}\cos(\theta )\sin(\varphi )&-{\frac {1}{r}}\sin(\theta )\\-{\frac {1}{r}}{\frac {\sin(\varphi )}{\sin(\theta )}}&{\frac {1}{r}}{\frac {\cos(\varphi )}{\sin(\theta )}}&0\end{bmatrix}}$

Omgekeerd

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{bmatrix}\sin(\theta )\cos(\varphi )&r\cos(\theta )\cos(\varphi )&-r\sin(\theta )\sin(\varphi )\\\sin(\theta )\sin(\varphi )&r\cos(\theta )\sin(\varphi )&r\sin(\theta )\cos(\varphi )\\\cos(\theta )&-r\sin(\theta )&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {zx}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&-y\\{\frac {y}{r}}&{\frac {zy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&x\\{\frac {z}{r}}&-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}&0\end{bmatrix}}$

Coördinatentransformatie

Een functie $f$ van de drie variabelen $x$, $y$ en $z$ krijgt in bolcoördinaten de gedaante:

$f_{B}(r,\theta ,\varphi )=f(r\sin(\theta )\cos(\varphi ),r\sin(\theta )\sin(\varphi ),r\cos(\theta ))$

Een vectorveld $F$, met in het punt $(x,y,z)$ de componenten

$F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z)$ en $F_{z}(x,y,z)$,

wordt ontbonden in een component langs de voerstraal $r$ en loodrecht daarop in een component in de "richting" van $\varphi$ en in de "richting" van $\theta$, de laatste rakend aan de cirkel om de oorsprong door $r$ in het vlak door $r$ en de z-as en de eerste loodrecht hierop, rakend aan de cirkel om de z-as, door $r$ en evenwijdig aan het xy-vlak. Voor deze componenten geldt:

$F_{r}=F_{x}\sin(\theta )\cos(\varphi )+F_{y}\sin(\theta )\sin(\varphi )+F_{z}\cos(\theta )$

$F_{\theta }=-F_{x}\sin(\varphi )+F_{y}\cos(\varphi )$

$F_{\varphi }=F_{x}\cos(\theta )\cos(\varphi )+F_{y}\cos(\theta )\sin(\varphi )-F_{z}\sin(\theta )$

Omgekeerd:

$F_{x}=F_{r}\cos(\varphi )\sin(\theta )-F_{\varphi }\sin(\varphi )+F_{\theta }\cos(\varphi )\cos(\theta )$

$F_{y}=F_{r}\sin(\varphi )\sin(\theta )+F_{\varphi }\cos(\varphi )+F_{\theta }\sin(\varphi )\cos(\theta )$

$F_{z}=F_{r}\cos(\theta )-F_{\theta }\sin(\theta )$

Voorbeeld

De functie $f$ gedefinieerd door:

$f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

heeft in bolcoördinaten de vorm:

$f_{B}(r,\theta ,\varphi )=f(r\sin(\theta )\cos(\varphi ),r\sin(\theta )\sin(\varphi ),r\cos(\theta ))=$

$(r\sin(\theta )\cos(\varphi ))^{2}+(r\sin(\theta )\sin(\varphi ))^{2}+(r\cos(\theta ))^{2}=r^{2}$

Het vectorveld $F$ gedefinieerd door:

$F_{x}(x,y,z)=x$

$F_{y}(x,y,z)=y$

$F_{z}(x,y,z)=z$

heeft in bolcoördinaten de vorm:

$F_{r}(r,\theta ,\varphi )=F_{x}\sin(\theta )\cos(\varphi )+F_{y}\sin(\theta )\sin(\varphi )+F_{z}\cos(\theta )=$

$x\sin(\theta )\cos(\varphi )+y\sin(\theta )\sin(\varphi )+z\cos(\theta )=r$

$F_{\theta }(r,\theta ,\varphi )=-F_{x}\sin(\varphi )+F_{y}\cos(\varphi )=-x\sin(\varphi )+y\cos(\varphi )=0$

$F_{\varphi }(r,\theta ,\varphi )=F_{x}\cos(\theta )\cos(\varphi )+F_{y}\cos(\theta )\sin(\varphi )-F_{z}\sin(\theta )=$

$x\cos(\theta )\cos(\varphi )+y\cos(\theta )\sin(\varphi )-z\sin(\theta )=0$

Coördinaten op een boloppervlak

Een boloppervlak met straal $R$ heeft in bolcoördinaten de vergelijking $r=R$ indien als oorsprong het middelpunt van de bol wordt gekozen. Op het boloppervlak heeft men zo een coördinatenstelsel met de twee overige coördinaten. Bovengenoemde $\theta$ wordt vaak vervangen door zijn complement. Het verband tussen de cartesische coördinaten $x,y,z$ en de bolcoördinaten $\theta ,\phi$ op het boloppervlak met straal $r$ wordt dan dus gegeven door: (merk op dat deze formules niet overeen komen met de tekening op deze pagina hierboven; dit komt omdat er een andere keuze is gemaakt voor de hoeken)

$x=r\ \cos \theta \cos \phi$

$y=r\ \cos \theta \sin \phi$

$z=r\ \sin \theta$

Omgekeerd zijn:

${\theta }=\cos ^{-1}\left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)$

${\phi }=\tan ^{-1}\left({\frac {y}{x}}\right)$

Per toepassing, waaronder geografische coördinaten en diverse variaties van astronomische coördinatenstelsels, variëren de gebruikte termen, maar een systeem van gemeenschappelijke termen (eventueel tussen aanhalingstekens geschreven) is als volgt: voor $\theta$ breedte, voor $\phi$ lengte, voor het punt $\theta =\pi /2$ noordpool, voor het punt $\theta =-\pi /2$ zuidpool, en voor het vlak $\theta =0$ basisvlak, evenaar of equator.

Er kan nog gekozen worden in welke richting geldt dat de hierboven met $\theta$ aangeduide parameter nul is, en in welke daarop loodrechte richting $\phi =0$.

Geografische coördinaten corresponderen met een $x$-, $y$- en $z$-as volgens de rechterhandregel, met een positieve $x$-as die de Aarde snijdt in 0° NB 0° OL, een positieve $y$-as in 0° NB 90° OL en een positieve $z$-as in 90° NB. Als oosterlengte positief wordt gerekend correspondeert deze volgens de rechterhandregel met de positieve $z$-richting.