Bravaistralie

Een bravaistralie of bravaisrooster is een begrip uit de kristallografie. De bravaistralies zijn de veertien manieren waarop kristalroosters meetkundig kunnen worden beschreven. De veertien tralies zijn in 1848 door de Franse kristallograaf Auguste Bravais bedacht.

De veertien verschillende bravaistralies waarmee kristalroosters meetkundig kunnen worden beschreven

Alle vaste stoffen op aarde kunnen op drie manieren voorkomen: kristallijn, amorf of een tussenvorm hiervan. Kristallijne stoffen zijn opgebouwd uit netjes gerangschikte atomen, die samen een kristal vormen. Er zijn verschillende manieren waarop kristallijne stoffen gerangschikt kunnen worden in een kristal en daarmee in verschillende typen kristalroosters. Al deze verschillende kristalstelsels kunnen meetkundig worden beschreven met de veertien tralies van Bravais, die ingedeeld worden naar eenheidscel en naar kristalrooster.

Het principe van de bravaisroosters kan ook in twee dimensies worden gebruikt.

Classificatie: eenheidscellen

Een eenheidscel laat zich beschrijven als een parallellepipedum met assen a, b, c en hoeken α, β en γ. Een complicatie treedt op bij de hexagonale cel, want de drietallige as genereert uit één parallellepipedum een hexagonaal prisma als eenheidscel met de puntsymmetrie van het kristal.

Indeling naar locatie en aantal van de traliepunten

De eenheidscellen zijn als volgt ingedeeld naar plaats en aantal traliepunten in de cel:

• P: primitief, één traliepunt op de top van de cel, geen extra traliepunten.
• S: grondvlakgecentreerd, 2 traliepunten, het extra traliepunt op een van de drie grondvlakken. Men kan nader onderscheid maken naar vlak:
  • A: het extra traliepunt op het celvlak A gedefinieerd door de assen b en c.
  • B: het extra traliepunt op het celvlak B gedefinieerd door de assen a en c
  • C: het extratraliepunt op het celvlak C gedefinieerd door de assen a en b
• F: vlakgecentreerd, 4 traliepunten, met de extra traliepunten op ieder van de drie grondvlakken A, B en C.
• I: ruimtelijkcentreerd, 2 traliepunten, het extra traliepunt in het centrum van de cel
• R: twee mogelijkheden: romboëdrisch, dan is het een primitieve cel; of hexagonaal, dan bevat het drie traliepunten per cel. Ook hier wordt de complicatie veroorzaakt door de drietallige rotatie-as.

P, S, F, I en R worden als notatiesymbolen voor bravaistralies gebruikt.

Voorbeeld

Hiernaast is ter illustratie een kubisch ruimtelijk gecentreerde eenheidscel, ofwel type I, gegeven. Deze heeft de volgende kenmerken:

• De cel is kubisch, ofwel de assen a, b en c zijn gelijk, en de hoeken zijn allen 90°
• De cel is ruimtelijk gecentreerd, ofwel er bevindt zich een traliepunt midden in de cel
• De eenheidscel heeft twee traliepunten;
  • Het ene traliepunt zit in het midden van de cel
  • Het andere traliepunt zit op het hoekpunt punt (0,0,0) van de cel. Alle andere hoekpunten zijn in een rooster in feite het punt (0,0,0) van de naburige cellen. Ieder hoekpunt van de cel wordt door 8 buren gedeeld, waardoor elk van de 8 hoekpunten voor 1/8 tot de cel behoort.

Overige afbeeldingen zijn verderop in dit artikel te vinden.

Classificatie: kristalstelsels, kristalroosters en kristalfamilies

Kristallen zijn op grond van hun morfologische eigenschappen ingedeeld in kristalstelsels. Er zijn zeven kristalstelsels gedefinieerd op grond van de waarden van de assen a, b, c en hoeken α, β en γ.

De zeven kristalstelsels zijn als volgt ingedeeld:

• triklien - a, b, c, α, β, γ willekeurig
• monoklien - a, b, c, β willekeurig, α = γ = 90°
• orthorombisch - a, b, c willekeurig, α = β = γ = 90°
• tetragonaal - a = b, c willekeurig, α = β = γ = 90°
• trigonaal - a = b = c, α = β = γ
• hexagonaal - a = b, c willekeurig, α = β = 90° γ = 120°
• kubisch - a = b = c, α = β = γ = 90°

Er zijn ook zeven kristalroosters. Op het eerste gezicht lijkt het dat men de kristalroosters als meetkundige abstracties een-eenduidig kan identificeren met de kristalstelsels. Echter, ook hier zorgt in het geval van het trigonale kristalstelsel de drietallige as voor complicaties. Een trigonaal stelsel kan zowel gebaseerd zijn op een hexagonaal prisma als op een parallellepipedum; in het eerste geval heet het rooster hexagonaal en is het stelsel trigonaal(-hexagonaal); in het tweede geval heet het rooster romboëdrisch en is het stelsel trigonaal(-romboëdrisch). De zeven kristalroosters stemmen weer wel overeen met de bravaistralies van de zeven primitieve cellen.

Kristalfamilies worden door hun interne symmetrie gekenmerkt. De zes kristalfamilies zijn:

• kubisch, symbool: c
• hexagonaal, symbool: h
• tetragonaal, symbool: t
• orthorombisch, symbool: o
• monoklien, symbool: m
• triklien, = asymmetrisch, symbool: a.

c, h, t, o, m en a worden in de notatie voor de bravaistralies gebruikt als voorvoegsels bij P, C, I, F en R.

Er zijn maar zes kristalfamilies. Dit komt doordat het hexagonale en trigonale kristalstelsel samen de éne hexagonale kristalfamilie vormen.

Classificatie: onderling verband met bravaistralies

Onderstaande tabel geeft het onderlinge verband weer tussen kristalfamilies, bravaistralies, kristalroosters en kristalstelsels. In de tabel zijn tevens opgenomen de bijbehorende 32 kristallografische puntgroepen in de Internationale notatie of Hermann-Mauguinnotatie. Dit is nuttig, omdat de combinatie van bravaistralies en puntgroepen de 230 ruimtegroepen oplevert.

De tabel maakt onder meer zichtbaar dat het trigonale stelsel overeenkomt met één verzameling puntgroepen, maar met twee kristalroosters en twee bravaistralies, hP en hR, en dat de éne hexagonale bravaistralie hP overeenkomt met twee kistalstelsels.

Verband tussen kristalfamilies, bravaistralies, kristalroosters, kristalstelsels en bijbehorende kristallografische puntgroepen

kristalfamilie	bravaistralie	kristalrooster	kristalstelsel	bijbehorende puntgroepen, Internationale notatie
kubisch	cP, cF, cI	kubisch	kubisch	23, m3, 432, 43m, m3m
hexagonaal	hP	hexagonaal	hexagonaal	6, 622, 6mm, 6/m, 6/mmm, 6, 62m
hexagonaal	hP	hexagonaal	trigonaal	3, 32, 3m, 3, 3m
hexagonaal	hR	rhomboëdrisch	trigonaal	3, 32, 3m, 3, 3m
tetragonaal	tP, tI	tetragonaal	tetragonaal	4, 4, 422, 4mm, 42m, 4/m, 4/mmm
orthorombisch	oP, oS, oF, oI	orthorombisch	orthorombisch	222, mm2, mmm
monoklien	mP, mS	monoklien	monoklien	2, m, 2/m
triklien	aP	triklien	triklien	1, 1

De 14 bravaistralies

De 14 bravaistralies staan in onderstaande tabel weergegeven naar type eenheidscel en naar kristalrooster. Het Pearson symbool staat onder iedere bravaistralie.

kristalstelsel	primitief	ruimtelijk gecentreerd	grondvlak gecentreerd	vlakken gecentreerd
triklien
	aP
monoklien
	mP		mS
orthorombisch
	oP	oI	oS	oF
hexagonaal
	hP
trigonaal
	hR
tetragonaal
	tP	tI
kubisch
	primitief kubisch cP	kubisch ruimtelijk gecentreerd cI		kubisch vlakgecentreerd cF

Bij de bovenstaande afbeeldingen zij opgemerkt dat de drie hoeken van de romboëder aan elkaar gelijk zijn.

Twee dimensies

De vijf bravaisroosters in het platte vlak

Er zijn in twee dimensies vijf soorten bravaisroosters. Hun indeling komt overeen met de vijf mogelijke vormen waarin de behangpatroongroepen kunnen worden onderverdeeld:

• m, 1 - p2, parallellogrammen
• o, 2 - pmm, rechthoeken
• o, 3 - cmm, ruiten
• h, 4 - p6m, dubbele gelijkzijdige driehoeken
• t, 5 - p4m, vierkanten

Vectoren

Ten gevolge van het repetitieve karakter van de roosterstructuren die volgen uit deze tralies, is het gebruik van vectoren in kristallografische problemen zeer nuttig, daarom werden door Auguste Bravais ook roosterrichting of kristallografische richtingen voorgesteld.

bronnen

• Voor bovenstaand artikel of een eerdere versie daarvan is gebruikgemaakt van het dictaat "Röntgendiffractie 1, derde editie, R. van Rooijen, H.C.F. Rozendaal, W. Smid, B.J. Thijsse, 1988, TU Delft, Faculteit der Scheikundige Technologie en der Materiaalkunde, Sectie 'Fysische Chemie van de Vaste Stof'"
• De sectie Classificatie: onderling verband met bravaistralies of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Système cristallin#Correspondance entre systèmes et réseaux de Bravais dans l'espace tridimensionnel op de Franstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.