Budescu debuteerde in 2005 voor Petrolul Ploiești. In vijf seizoenen maakte hij 41 doelpunten in 151 competitiewedstrijden voor de club. In februari 2011 tekende hij bij Astra Giurgiu, dat op het hoogste niveau actief was.[1] Op 21 juli 2013 maakte de aanvallend ingestelde middenvelder zijn eerste hattrick in de Liga 1 tegen Viitorul Constanța.[2] Budescu maakte doelpunten voor Astra Giurgiu in een kwalificatiewedstrijd voor de UEFA Europa League tegen Omonia Nicosia. De Roemeense voetbalbeker werd in 2014 gewonnen; de Supercup van het Roemeense voetbal won Budescu met zijn club aan het begin van het seizoen 2014/15.[2]
Budescu debuteerde voor Roemenië in een vriendschappelijke interland tegen Polen in het Spaanse Málaga. Hij viel na rust in voor Gheorghe Grozav. Toen stond het al 4–1, wat ook de eindstand was. Zowel Polen als Roemenië speelden enkel met spelers uit de vaderlandse competitie. Derhalve was het niet zijn officieel debuut: dat volgde op 7 februari 2015, toen Roemenië met 0–0 gelijkspeelde tegen het Bulgaars voetbalelftal. In de 59ste minuut verving hij de toen achtvoudig international Raul Rusescu (Steaua Boekarest).[3] In de laatste kwalificatiewedstrijd voor het Europees kampioenschap voetbal 2016 tegen de Faeröer (0–3 winst) maakte Budescu twee van de drie doelpunten voor Roemenië. Alexandru Maxim maakte het derde doelpunt. Door de overwinning kwalificeerde Roemenië zich voor het Europees kampioenschap in Frankrijk.
Roemenië
Hongarije – Roemenië 
Faeröer – Roemenië 
4', 
Astra Giurgiu