Decimale breuk

Een decimale breuk is een breuk met als noemer een macht van 10, dus 10, 100, 1000, etc. Decimale breuken worden doorgaans niet als breuk geschreven maar als een rij cijfers, waarbij de fractie gescheiden wordt van het gehele deel door een decimaalteken: meestal een komma (in de meeste landen) of een punt (in Angelsaksische landen). In programmeertalen is het steeds een punt. De cijfers achter de komma worden decimalen genoemd.

Grotere getallen worden vaak in groepjes van drie cijfers verdeeld, waarbij een punt als scheidingsteken wordt gebruikt als het decimaalteken een komma is, en een komma als het decimaalteken een punt is. Dat dit verwarring geeft, hoeft geen betoog. De moderne richtlijn is dat er een spatie als scheidingsteken wordt gebruikt.

Ieder reëel getal kan geschreven worden als een, mogelijk oneindige, decimale breuk. Met willekeurige nauwkeurigheid kan ieder reëel getal worden benaderd door een eindige decimale breuk (afronding).

Eindige decimale breuken zijn rationale getallen (breuken), maar niet alle breuken leveren eindige decimale breuken op. Zo is 1 : 3 = 0,333 333 33... Een oneindige decimale breuk is een rationaal getal dan en slechts dan als deze repeterend is.

Achter het laatste cijfer van een eindige decimale breuk kan een willekeurig aantal nullen geplaatst worden zonder dat de waarde van de breuk verandert: 0,5 en 0,50 hebben dezelfde waarde. Dat komt doordat 1/2 gelijk is aan 5/10 (0,5) maar ook aan 50/100 (0,50) en aan 500/1000 (0,500). Toch is er verschil, en wel in de fout of onnauwkeurigheid. Zegt men dat een afstand 4,5 km is, dan is dat iets tussen 4,45 en 4,55 km, dus een mogelijk afwijking van 50 meter. Schrijft men 4,500 km, dan is dat op een meter nauwkeurig.

Staartdeling

Elk rationaal getal kan als decimale breuk, al dan niet repeterend, geschreven worden. Dit kan ingezien worden door de deling van teller en noemer uit te voeren als een staartdeling.

Elke breuk, als de uitkomst géén geheel getal of een decimale breuk met een eindig aantal decimalen is, is altijd een repeterende decimale breuk. Onderstaand voorbeeld maakt duidelijk waarom dat zo is. In het voorbeeld wordt 7 gedeeld door 13. Hieronder staat een deel van de staartdeling (Nederlandse notatie):

  13 / 7,00000000 \ 0,538461...
       6,5
         50
         39
         110
         104
           60
           52
            80
            78
             20
             13
              7

Nu is er een rest 7, waardoor er een situatie ontstaat die al eerder is opgetreden. De geschiedenis herhaalt zich: er ontstaat een repeterend gedeelte.

Bij een deling door 13 kunnen hooguit 13 verschillende resten ontstaan (0 t/m 12). Bij rest 0 gaat de deling op, een andere rest is "nieuw" of "al eerder voorgekomen". In het laatste geval ontstaat een herhaling van zetten. Het is niet moeilijk in te zien dat bij een deler n na hoogstens n stappen de deling opgaat of herhaling optreedt.

Conclusie: iedere breuk van het type m/n (waarbij m en n gehele getallen zijn) is

• ofwel een geheel getal, bijvoorbeeld 8/4 = 2;
• ofwel een eindige decimale breuk (bijvoorbeeld: 5/8 = 0,625);
• ofwel een repeterende breuk waarin na ten hoogste n − 1 decimalen een herhaling optreedt.

Om aan te geven dat er sprake is van een repeterende breuk, wordt het repeterende deel tussen schuine strepen of (ronde of vierkante) haken gezet. In dit geval 0,/538461/ of 0,(538461). Ook wordt er wel een streep boven gezet: 0,538461. Dit is nodig omdat er anders geen verschil te zien is tussen 0,3 (3/10) en 0,/3/ (1/3). Overigens is het niet zo dat de herhaling altijd direct na de komma begint: bij 11/12 (0,91/6/) doen de eerste twee decimalen niet mee aan de herhaling. Daardoor is een notatie als 0,916... dubbelzinnig. Wordt toch gekozen voor een notatie met puntjes, dan kan het repeterende gedeelte het best twee maal opgeschreven worden (7/13 = 0,538461538461...).

Eindige decimale breuken treden alleen op als bij factorisatie van de noemer alleen de cijfers 2 en 5 voorkomen (aangezien 2 × 5 = 10 kan zo'n noemer namelijk omgezet worden naar een hele macht van 10: 1/5 = 2/10, 1/2 = 5/10, 1/4 = 25/100 enzovoorts).

Historie

Voor 1600 werd voor het rekenen met niet-gehele getallen normaal gesproken gewerkt met algemene breuken, gebaseerd op handige noemers. Er waren wel gestandaardiseerde methoden die met 60-tallige breuken werkten, maar over het algemeen was het heel moeilijk om aan de breuk te zien in hoeverre die het gewenste niet-gehele getal werkelijk benaderde. Decimale breuken werden al wel gebruikt, maar alleen om te kunnen worteltrekken. In het dagelijks leven werkte men daar niet mee.

In 1586 schreef Simon Stevin zijn beroemde werk De Thiende, waarin hij het algemeen gebruik van breuken op basis van het tientallig stelsel beschreef. Hij gebruikte daarvoor nog niet de notatie met een decimale punt of decimale komma zoals wij dat nu doen, maar een notatie waar achter elk cijfer in een cirkel de (negatieve) macht van 10 kwam te staan die op dat cijfer van toepassing was. Wat men nu als 6,87 schrijft, schreef Simon Stevin als 6⓪8①7②. Dat is dus 6×10⁰+8×10^-1+7×10^-2.

Pas toen Bartholomaeus Pitiscus in zijn trigonometrische tabellen in 1612 de decimale scheiding in de vorm van een punt gebruikte en dit gebruik in 1614 en 1619 door John Napier in zijn artikelen over logaritmen werd erkend, werd de huidige notatie van de decimale breuk in gebruik genomen.

Bronnen, noten en/of referenties