Binnen de lineaire algebra , een deelgebied van de wiskunde , heten de
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
matrices
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
equivalent als er een inverteerbare
m
×
m
{\displaystyle m\times m}
P
{\displaystyle P}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
Q
{\displaystyle Q}
B
=
P
A
Q
{\displaystyle B=PAQ}
Equivalente matrices kunnen gezien worden als matrices van dezelfde lineaire afbeelding, maar ten opzichte van verschillende bases. Dat kan ingezien worden door de keuze van bases
v
1
{\displaystyle v_{1}}
v
2
{\displaystyle v_{2}}
n
{\displaystyle n}
V
,
{\displaystyle V,}
w
1
{\displaystyle w_{1}}
w
2
{\displaystyle w_{2}}
m
{\displaystyle m}
W
,
{\displaystyle W,}
Q
{\displaystyle Q}
P
{\displaystyle P}
basistransformaties zijn,
Q
=
K
v
1
K
v
2
−
1
{\displaystyle Q=K_{v_{1}}K_{v_{2}}^{-1}\quad }
v
1
{\displaystyle v_{1}}
v
2
{\displaystyle v_{2}}
en
P
=
K
w
2
K
w
1
−
1
{\displaystyle P=K_{w_{2}}K_{w_{1}}^{-1}\quad }
w
1
{\displaystyle w_{1}}
w
2
{\displaystyle w_{2}}
Daarin zijn
K
v
1
:
V
→
R
n
{\displaystyle K_{v_{1}}:V\to \mathbb {R} ^{n}}
K
v
2
:
V
→
R
n
{\displaystyle K_{v_{2}}:V\to \mathbb {R} ^{n}}
K
w
1
:
W
→
R
m
{\displaystyle K_{w_{1}}:W\to \mathbb {R} ^{m}}
K
w
2
:
W
→
R
m
{\displaystyle K_{w_{2}}:W\to \mathbb {R} ^{m}}
de betrokken coördinatiseringen. Dan is
B
=
P
A
Q
=
K
w
2
K
w
1
−
1
A
K
v
1
K
v
2
−
1
,
{\displaystyle B=PAQ=K_{w_{2}}K_{w_{1}}^{-1}AK_{v_{1}}K_{v_{2}}^{-1},}
dus
K
w
2
−
1
B
K
v
2
=
K
w
1
−
1
A
K
v
1
=
L
:
V
→
W
{\displaystyle K_{w_{2}}^{-1}BK_{v_{2}}=K_{w_{1}}^{-1}AK_{v_{1}}={\mathcal {L}}:V\to W}
een lineaire afbeelding die met betrekking tot de verschillende bases wordt voorgesteld door zowel
A
{\displaystyle A}
B
.
{\displaystyle B.}
De relatie van equivalentie tussen matrices is inderdaad een equivalentierelatie , want:
(Reflexiviteit) Elke matrix is equivalent met zichzelf; kies voor
P
{\displaystyle P}
Q
{\displaystyle Q}
eenheidsmatrices .
(Symmetrie) Als
A
{\displaystyle A}
B
,
{\displaystyle B,}
B
{\displaystyle B}
A
,
{\displaystyle A,}
P
{\displaystyle P}
Q
{\displaystyle Q}
A
=
P
−
1
B
Q
−
1
{\displaystyle A=P^{-1}BQ^{-1}}
(Transiviteit) Als
A
{\displaystyle A}
B
,
{\displaystyle B,}
B
{\displaystyle B}
C
,
{\displaystyle C,}
B
=
P
A
Q
{\displaystyle B=PAQ}
en
C
=
R
B
S
{\displaystyle C=RBS}
zodat
C
=
(
R
P
)
A
(
Q
S
)
{\displaystyle C=(RP)A(QS)}
en dus is ook
A
{\displaystyle A}
C
.
{\displaystyle C.}
Equivalente matrices hebben dezelfde rang .
