Erdős-Woods-getal
In de getaltheorie heet een positief geheel getal k een Erdős–Woods-getal als er een rij van opeenvolgende gehele getallen a, a+1, ..., a+k bestaat, zodanig dat alle elementen in de rij een factor met een van de eindpunten van de rij gemeen hebben. Met andere woorden: geen enkel getal in de rij is relatief priem met beide eindpunten van de rij.
De eerste Erdős–Woods-getallen k zijn:
De corresponderende beginpunten a zijn:
- 2184, 3521210, 47563752566, 12913165320, 3180417880379694, 2212091405535117414, 3843095117044776029646, 3615758618744894508744, 13151117479433859435440, ... rij A059757 in OEIS.
Voor het eerste Erdős–Woods-getal 16 geldt bijvoorbeeld dat van de rij:
- 2184, ...., 2200
het beginpunt 2184 = 2×3×7×13, en het eindpunt 2200=2×2×2×5×5×11, zodat van de tussenliggende getallen sowieso de even getallen voldoen, evenals de 3-vouden en de 5-vouden. Blijven over: 2189 = 11×199, 2191 = 3×7×13 en 2197 = 13×439, dus 11-, 7- of 13-vouden.
Geschiedenis
bewerkenDe Erdős–Woods-getallen danken hun naam aan een vermoeden, dat in 1980 door Paul Erdős werd geformuleerd:
- Er bestaat een geheel getal k, zodat voor ieder paar a en b de beide kleinste gemene veelvouden van a, a+1, ..., a+k en b, b+1, ..., b+k een priemfactor verschillend hebben.
en aan AR Woods, die hier aan de Universiteit van Manchester onderzoek naar deed[1] en het eerste voorbeeld boven heeft gevonden.
In 1987 bewees David Dowe dat er oneindig veel van Erdős–Woods-getallen k zijn.[2]
Patrick Cégielski en medewerkers bewezen in 2003 dat k steeds kleiner is dan a, dat de verzameling van Erdős–Woods-getallen recursief is en met een algoritme kan worden berekend. Zij berekenden de getallen tot circa 600.[3] Al deze getallen zijn even, maar dit betekent niet dat alle Erdős–Woods-getallen even zijn, zoals Dowe vermoedde. Het eerste oneven Erdős–Woods-getal is k=903, en er zijn oneindig veel even zowel als oneven Erdős–Woods-getallen. Een Erdős–Woods-getal kan ook een priemgetal zijn, bijvoorbeeld k=15493.
Open vragen
bewerkenCégielski et al. formuleerden een aantal open vragen in verband met deze getallen, onder meer:
- Als het Erdős–Woods-getal k in het paar (a,k) even is, is a dan altijd even of niet?
- Er zijn veel paren van Erdős–Woods-getallen, die opeenvolgende even getallen zijn: 34 en 36, 64 en 66, enz. Zijn er oneindig veel van deze paren?
- Er zijn rijen van drie opeenvolgende even Erdős–Woods-getallen (92,94,96) en van vier opeenvolgende (216, 218, 220, 222). Is er voor elk geheel getal n een rij van n opeenvolgende even Erdős–Woods-getallen?
- Bestaat er voor elk geheel getal n>1 een verschil tussen twee opeenvolgende Erdős–Woods-getallen dat gelijk is aan n?
Referenties
bewerken- ↑ (en) AR Woods aan de Universiteit van Manchester. Some problems in logic and number theory, and their connections, 1981, (pdf). PhD Thesis.
- ↑ (en) DL Dowe in Journal of the Australian Mathematical Society, series A. On the existence of sequences of co-prime pairs of integers , 1989. blz. 84-89. DOI:10.1017/S1446788700031220
- ↑ (en) Cégielski, F Heroult, D Richard in Theoretical Computer Science. On the amplitude of intervals of natural numbers whose every element has a common prime divisor with at least an extremity, 2003. vol. 303, nr. 1, blz. 53-62. DOI:10.1016/S0304-3975(02)00444-9