Farlie-Morgensternfamilie

De Farlie-Morgernsternfamilie is een familie van tweedimensionale verdelingsfuncties, voortgebracht door twee eendimensionale verdelingsfuncties.

Definitie

Laat $F$ en $G$ twee eendimensionale verdelingsfuncties zijn. De Farlie-Morgensternfunctie is een tweedimensionale verdelingsfunctie van stochastische variabelen $X$ en $Y$ die wordt gedefinieerd als

$P(X\leq x,Y\leq y)=H(x,y)=F(x)G(y)(1+\alpha \left(1-F(x))(1-G(y))\right)$

waarin $\alpha$ een parameter is waarvoor moet gelden $|a|\leq 1$.

Eigenschappen

De marginale verdelingsfuncties $F_{X}$ van $X$ en $F_{Y}$ van $Y$ zijn juist respectievelijk $F$ en $G$:

$F_{X}(x)=\lim _{y\to \infty }H(x,y)=F(x)$,

$F_{Y}(y)=\lim _{y\to \infty }H(x,y)=G(y)$.

Voor $\alpha =0$ geldt $H(x,y)=F(x)G(y)$, en dan zijn $X$ en $Y$ onafhankelijk.

Als men voor $F(x)$ en $G(y)$ uniforme verdelingen neemt, is $H(x,y)$ een copula.

Bronnen, noten en/of referenties