Genus (wiskunde)

In de wiskunde heeft het begrip genus een aantal verschillende, maar nauw verwante betekenissen.

Topologie

Oriënteerbaar oppervlak

Het genus van een samenhangend oriënteerbaar oppervlak is een geheel getal dat het maximum aantal doorsnijdingen voorstelt langs gesloten simpele krommen (die onderling elkaar niet snijden) zonder dat de resulterende variëteit onsamenhangend wordt. Het genus is gelijk aan het aantal handvatten op de variëteit. Een alternatieve definitie van het genus is in termen van de Euler-karakteristiek $\chi$, rekening houdend met de relatie $\chi =2-2g$ voor gesloten oppervlakken, waarin $g$ het genus is. Voor oppervlakken met $b$ randen is de vergelijking als volgt:

$\chi =2-2g-b$

Bijvoorbeeld:

• Een sfeer, schijf en cirkelring hebben alle genus 0.
• Een torus heeft genus 1, net zoals het oppervlak van een theekopje met één oortje.

Een expliciete constructie van oppervlakken van genus $g$ kan worden gedefinieerd met behulp van fundamentele veelhoeken.

• Genus van orienteerbare oppervlakken
• 
  genus 0
• 
  genus 1
• 
  genus 2
• 
  genus 3

Niet-oriënteerbaar oppervlak

Het (niet-oriënteerbare) genus van een samenhangend, niet-oriënteerbaar gesloten oppervlak is een positief geheel getal dat het aantal kruisbanden weergeeft dat is vastgemaakt aan een sfeer. Op alternatieve wijze kan een gesloten oppervlak worden gedefinieerd in termen van de Euler-karakteristiek $\chi$, via the relatie $\chi =2-k$, waarin $k$ het niet-oriënteerbare genus is.

Bijvoorbeeld:

• Een projectief vlak heeft een niet-oriënteerbaar genus van 1.
• Een Kleinfles heeft een niet-oriënteerbaar genus van 2.

Knoop

Het genus van een knoop $K$ wordt gedefinieerd als het minimale genus van alle seifert-oppervlakken voor $K$. Een seifert-oppervlak van een knoop is echter een variëteit met grens, waar de grens de knoop is, dat wil zeggen homeomorf aan de eenheidscirkel. Het genus van een dergelijk oppervlak wordt gedefinieerd als het genus van de twee-variëteit die ontstaat door de eenheidsschijf langs de grens te lijmen.

Algebraïsche meetkunde

Er zijn twee gerelateerde definities van genus van een projectief algebraïsch schema $X$: het rekenkundige genus en het meetkundige genus. Wanneer $X$ een algebraïsche kromme is met als definitieveld de complexe getallen, en als $X$ geen singuliere punten heeft, dan komen deze beide definities overeen en vallen zij samen met de topologische definitie, die geldt op het riemann-oppervlak van $X$ (zijn variëteit van complexe punten). De definitie van een elliptische kromme uit de algebraïsche meetkunde is een niet-singuliere kromme van genus 1 met een gegeven rationaal punt op de kromme.

Zie ook

• Groep