Hypergeometrische functie

In de wiskunde vormen de hypergeometrische functies functies, die de oplossingen zijn van een tweede orde lineaire differentiaalvergelijking en als generalisatie van de meetkundige reeks kunnen worden beschouwd. De exponentiële functie en de goniometrische functies zijn hypergeometrische functies. Carl Friedrich Gauss beschreef voor het eerst een groot aantal eigenschappen van deze functies in zijn proefschrift in 1812, hoewel Leonhard Euler en Johann Friedrich Pfaff er eerder ook al aan hadden gerekend.

Definitie

De hypergeometrische functies worden geparametriseerd door de getallen $p,q\in \mathbb {N} _{0}$ en de reële getallen $a_{1},\ldots ,a_{p}$ en $b_{1},\ldots ,b_{q}$, en worden voor $z\in \mathbb {C} ,|z|<1$ gedefinieerd door

${}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\frac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}\prod _{j=1}^{q}{\frac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}{\frac {z^{k}}{k!}}$.

Daarin is $\Gamma$ de gammafunctie.

Een andere schrijfwijze voor de functies is:

${}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}$

met

$c_{0}=1{\text{ en }}{\frac {c_{k+1}}{c_{k}}}={\frac {(k+a_{1})(k+a_{2})\cdots (k+a_{p})}{(k+b_{1})(k+b_{2})\cdots (k+b_{q})}}\,{\frac {1}{k+1}}.$

Met behulp van het (stijgende) pochhammersymbool $(q)_{n}$, gedefinieerd als:

$(q)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&n>0\end{cases}}$,

kunnen de functies ook worden geschreven als:

${}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{k}(a_{2})_{k}\ldots (a_{p})_{k}}{(b_{1})_{k}(b_{2})_{k}\ldots (b_{q})_{k}}}\ {\frac {z^{k}}{k!}}$

Voorbeelden

${}_{0}F_{0}\left(;;z\right)=e^{z}$

${}_{1}F_{0}\left(-a;;-z\right)=(1+z)^{a}$

${}_{0}F_{1}\left(;{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\cos z$

${}_{0}F_{1}\left(;{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)={\frac {\sin z}{z}}$

${}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)={\frac {1}{z}}\ln(1+z)$

${}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},1;{\frac {3}{2}};z^{2}\right)={\frac {1}{2z}}\ln {\frac {1+z}{1-z}}$

${}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)={\frac {1}{z}}\arcsin z$

${}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},1;{\frac {3}{2}};-z^{2}\right)={\frac {1}{z}}\arctan z$

${}_{0}F_{1}\left(;1+a;-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\Gamma (a+1)\cdot \left({\frac {z}{2}}\right)^{-a}\cdot J_{a}(z)\quad$, waarin $J_{a}(z)$ de besselfunctie is

${}_{0}F_{1}\left(;1+a;{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\Gamma (a+1)\left({\frac {z}{2}}\right)^{-a}\cdot I_{a}(z)\quad$, met $I_{a}(z)=e^{-i{\frac {\pi }{2}}a}J_{a}(z)$ de gemodificeerde besselfunctie

${}_{1}F_{1}\left(a;a+1;-z\right)=az^{-a}\gamma (a,z)$, waarin $\gamma (a,z)$ de onvolledige gammafunctie voorstelt

${}_{1}F_{1}\left(1;a+1;z\right)=az^{-a}e^{z}\gamma (a,z)$

${}_{0}F_{1}(;{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{4}})=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}=\cos z$

Tot ongeveer 1870 werd alleen ${}_{2}F_{1}$ een hypergeometrische genoemd.

literatuur

• Eduard Heine. Handbuch der Kugelfunctionen, 1861. blz 91, Georg Reimer, Berlin
• F Klein. Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion, 1933.
• L Bieberbach. Theorie der Differentialgleichungen, 1930.

voetnoten

websites

• AB Olde daalhuis. Chapter 15 Hypergeometric Function, voor het National Institute of Standards and Technology