Hypotrochoïde

De hypotrochoïde is een kromme in het platte vlak, een trochoïde, die ontstaat door een kleine cirkel met straal $r$ te laten wentelen in een grote cirkel met straal $R$ en waarbij $d$ de afstand is van het middelpunt van de kleine cirkel tot ieder punt op de kromme. Deze afstand $d$ kan zowel kleiner als groter zijn dan $r$. Indien $d=r$ is het geen trochoïde, maar een cycloïde, een hypocycloïde.

 hypotrochoïde

$R=5,r=3$ en $d=5$

Constructie van een ellips
$R=10,r=5$ en $d=1$

De kleine cirkel draait bij een epitrochoïde aan de buitenkant om de grote cirkel heen.

Een speciaal geval van de hypotrochoïde is de ellips, wanneer $R=2r$ en $d<r$.

Vergelijkingen

De hypotrochoïde kan, zoals alle krommen, worden beschreven door een vergelijking.

Parametervergelijking

De parametervergelijking van de hypotrochoïde wordt gegeven door:

$x(\theta )=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)$

$y(\theta )=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)$

Poolcoördinaten

De vergelijking in poolcoördinaten voor de hypotrochoïde luidt:

$r(\theta )^{2}=(R-r)^{2}+2d(R-r)\cos \left({R \over r}\theta \right)+d^{2}$

Booglengte

De booglengte van een hypotrochoïde wordt gegeven door volgende betrekking:

$s(t)=\ 2\ |(R-r)(r-d)|\ E\left({\frac {Rt}{2r}},{\frac {2i{\sqrt {rd}}}{|r-d|}}\right)$

met $E(x,y)$ de elliptische integraal van de tweede soort.

Websites

• MathWorld. Hypotrochoid.