In de integraalrekening is substitutie een techniek om primitieve functies te bepalen en integralen op te lossen. Het is een van de meest gebruikte technieken om primitieve functies te vinden en volgt uit de kettingregel voor afgeleiden . Eerst volgt de formele regel, daarna verduidelijkende voorbeelden.
We weten dat
∫
sin
(
x
)
d
x
=
−
cos
(
x
)
+
C
.
{\displaystyle \int \sin(x)\,\mathrm {d} x=-\cos(x)+C.}
∫
sin
(
3
x
−
2
)
d
x
{\displaystyle \int \sin({3x-2})\mathrm {d} x}
3
x
−
2
=
y
,
{\displaystyle 3x-2=y,}
d
x
=
1
3
d
y
,
{\displaystyle \mathrm {d} x={\tfrac {1}{3}}\mathrm {d} y,}
∫
sin
(
3
x
−
2
)
d
x
=
1
3
∫
sin
(
y
)
d
y
=
−
1
3
cos
(
y
)
+
C
=
−
1
3
cos
(
3
x
−
2
)
+
C
{\displaystyle \int \sin(3x-2)\mathrm {d} x={\tfrac {1}{3}}\int \sin(y)\mathrm {d} y=-{\tfrac {1}{3}}\cos(y)+C=-{\tfrac {1}{3}}\cos(3x-2)+C}
Nu passen we de formule in de andere richting toe, van rechts naar links dus. We beschouwen de volgende integraal:
∫
sin
3
(
t
)
d
t
=
∫
sin
2
(
t
)
sin
(
t
)
d
t
=
∫
(
1
−
cos
2
(
t
)
)
sin
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int \sin ^{3}(t)\mathrm {d} t=\int \sin ^{2}(t)\sin(t)\mathrm {d} t=\int \left(1-\cos ^{2}(t)\right)\sin(t)\mathrm {d} t}
Door de substitutie
x
=
cos
(
t
)
{\displaystyle x=\cos(t)\,}
d
x
d
t
=
−
sin
(
t
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-\sin(t)}
d
t
=
−
1
sin
(
t
)
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} t=-{\frac {1}{\sin(t)}}\mathrm {d} x}
∫
(
1
−
cos
2
(
t
)
)
sin
(
t
)
d
t
=
−
∫
(
1
−
x
2
)
d
x
=
−
x
+
1
3
x
3
+
C
=
−
cos
(
t
)
+
1
3
cos
3
(
t
)
+
C
{\displaystyle \int (1-\cos ^{2}(t))\sin(t)\mathrm {d} t=-\int (1-x^{2})\mathrm {d} x=-x+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+C=-\cos(t)+{\tfrac {1}{3}}\cos ^{3}(t)+C}
zodat
∫
sin
3
(
t
)
d
t
=
−
cos
(
t
)
+
1
3
cos
3
(
t
)
+
C
{\displaystyle \int \sin ^{3}(t)\mathrm {d} t=-\cos(t)+{\tfrac {1}{3}}\cos ^{3}(t)+C}
Ten slotte een voorbeeld van een bepaalde integraal. Nu moet eraan gedacht worden ook de grenzen aan te passen.
∫
0
2
x
e
x
2
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{2}xe^{x^{2}}\mathrm {d} x}
Substitutie: stel
x
2
=
y
⇔
2
x
d
x
=
d
y
⇔
x
d
x
=
1
2
d
y
{\displaystyle x^{2}=y\Leftrightarrow 2x\mathrm {d} x=\mathrm {d} y\Leftrightarrow x\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\mathrm {d} y}
x
=
0
⇒
y
=
0
∧
x
=
2
⇒
y
=
4
{\displaystyle x=0\Rightarrow y=0\ \wedge \ x=2\Rightarrow y=4}
1
2
∫
0
4
e
y
d
y
=
1
2
[
e
y
]
0
4
=
1
2
(
e
4
−
e
0
)
=
e
4
−
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{4}{e^{y}}\mathrm {d} y={\tfrac {1}{2}}[{e^{y}}]_{0}^{4}={\tfrac {1}{2}}(e^{4}-e^{0})={\frac {e^{4}-1}{2}}}
In tegenstelling tot de voorgaande voorbeelden, is het bij een bepaalde integraal niet nodig achteraf terug te substitueren.
Bij goniometrische substituties voeren we een goniometrische functie in. Dit kan helpen bij het integreren van onder meer wortelvormen zoals
x
2
−
a
2
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}
a
2
−
x
2
{\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}
x
2
+
a
2
.
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}.}
1
−
sin
2
α
=
cos
2
α
{\displaystyle 1-\sin ^{2}\alpha =\cos ^{2}\alpha }
1
+
tan
2
α
=
sec
2
α
{\displaystyle 1+\tan ^{2}\alpha =\sec ^{2}\alpha }
sec
2
α
−
1
=
tan
2
α
{\displaystyle \sec ^{2}\alpha -1=\tan ^{2}\alpha }
Een klassieker is de bepaling van
I
=
∫
1
−
x
2
d
x
{\displaystyle I=\int {\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x}
voor
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle -1\leq x\leq 1}
We gebruiken als substitutie:
x
=
sin
(
y
)
{\displaystyle x=\sin(y)}
d
x
=
cos
(
y
)
d
y
{\displaystyle \mathrm {d} x=\cos(y)\,\mathrm {d} y}
en vinden:
I
=
∫
1
−
sin
2
(
y
)
cos
(
y
)
d
y
=
∫
cos
2
(
y
)
cos
(
y
)
d
y
=
∫
cos
2
(
y
)
d
y
{\displaystyle I=\int {\sqrt {1-\sin ^{2}(y)}}\cos(y)\,\mathrm {d} y=\int {\sqrt {\cos ^{2}(y)}}\cos(y)\,\mathrm {d} y=\int \cos ^{2}(y)\,\mathrm {d} y}
We gebruiken nu dat
cos
(
2
y
)
=
2
cos
2
(
y
)
−
1
⇔
cos
2
(
y
)
=
1
2
(
1
+
cos
(
2
y
)
)
{\displaystyle \cos(2y)=2\cos ^{2}(y)-1\Leftrightarrow \cos ^{2}(y)={\tfrac {1}{2}}(1+\cos(2y))}
zodat:
I
=
∫
1
2
(
1
+
c
o
s
(
2
y
)
)
d
y
=
1
2
∫
d
y
+
1
4
∫
cos
(
2
y
)
d
(
2
y
)
=
1
2
y
+
1
4
sin
(
2
y
)
+
C
{\displaystyle I=\int {\tfrac {1}{2}}(1+cos(2y))\,\mathrm {d} y={\tfrac {1}{2}}\int \mathrm {d} y+{\tfrac {1}{4}}\int \cos(2y)\,\mathrm {d} (2y)={\tfrac {1}{2}}y+{\tfrac {1}{4}}\sin(2y)+C}
Om
I
{\displaystyle I}
x
{\displaystyle x}
sin
(
y
)
=
x
⇔
y
=
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \sin(y)=x\Leftrightarrow y=\arcsin(x)}
en substitueren terug:
I
=
1
2
y
+
1
4
⋅
2
sin
(
y
)
cos
(
y
)
+
C
=
1
2
arcsin
(
x
)
+
1
2
x
1
−
x
2
+
C
{\displaystyle I={\tfrac {1}{2}}y+{\tfrac {1}{4}}\cdot 2\sin(y)\cos(y)+C={\tfrac {1}{2}}\arcsin(x)+{\tfrac {1}{2}}x{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
De Weierstrass-substitutie , genoemd naar de Duitse wiskundige Karl Weierstrass , is een methode, die wordt gebruikt om met behulp van substitutie een integraal te berekenen.
![{\displaystyle f:[{a,b}]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5b2fb83bf774092528a0586ed2b0102b3741ea)
![{\displaystyle \varphi :[{\alpha ,\beta }]\to [{a,b}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d061d824fb372b5e559bbcae5204efdc0528fd)
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{4}{e^{y}}\mathrm {d} y={\tfrac {1}{2}}[{e^{y}}]_{0}^{4}={\tfrac {1}{2}}(e^{4}-e^{0})={\frac {e^{4}-1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/550fd5a2711a539cf108a45311ff4fb46c52fce0)
