Isotomische verwantschap

.

P₁ en P₂ zijn isotomisch verwant.
D, E, F zijn de middens van BC, CA, AB.
Dan is ook: X₁D=DX₂, Y₁E=EY₂, Z₁F=FZ₂

In een driehoek $ABC$ heten twee punten $P_{1}$ en $P_{2}$ isotomisch verwant als voor hun Ceva-driehoeken $X_{1}Y_{1}Z_{1}$ en $X_{2}Y_{2}Z_{2}$ geldt (zie de figuur rechts):

$AZ_{1}=BZ_{2},BX_{1}=CX_{2},CY_{2}=AY_{1}$

Ieder punt $P$ dat niet op een zijde van een driehoek ligt, heeft volgens de stelling van Ceva een isotomisch verwant punt. Als $P$ op Steiners omgeschreven ellips van de driehoek ligt, dan ligt het isotomisch verwante punt van $P$ op de oneindig verre rechte.

Enkele bijzondere punten van een driehoek die isotomisch verwant zijn:

• het zwaartepunt met zichzelf;
• het punt van Gergonne en het punt van Nagel.

Involutie

Isotomische verwantschap kan als een involutie $\tau$ worden opgevat. In barycentrische coördinaten wordt de involutie gegeven door:

$\tau :(x:y:z)\mapsto \left(yz:xz:xy\right)$

Een rechte lijn wordt op een kegelsnede door de hoekpunten van een driehoek afgebeeld; namelijk op:

• een ellips, als de lijn Steiners omgeschreven ellips niet snijdt,
• een parabool, als de lijn Steiners omgeschreven ellips raakt,
• een hyperbool, als de lijn Steiners omgeschreven ellips snijdt .

Overige

• Bij uitbreiding wordt wel gezegd dat elk hoekpunt van een driehoek isotomisch verwant is met elk punt van de overstaande zijde.
• Isogonale verwantschap bij een driehoek legt een verband tussen twee punten, waarbij een gelijkheid tussen hoeken geldt.