Kromlijnige coördinaat

Een kromlijnige coördinaat is een coördinaat in een coördinatenstelsel waarvan een constante waarde niet altijd een rechte lijn representeert, zoals lengte- en breedtegraad op een wereldkaart.

Het begrip werd bedacht door Gabriel Lamé als uitbreiding van het begrip cartesische coördinaat. Een gekromd oppervlak kan daarmee beschreven worden door de positievector ${\vec {r}}$ als functie van twee kromlijnige coördinaten $u$ en $v$

${\vec {r}}={\vec {r}}(u,v)$

Natuurlijk hoeft dit begrip niet beperkt te worden tot tweedimensionale ruimten (oppervlakken). In het algemeen is een stel kromlijnige coördinaten een homeomorfisme van een open deelverzameling van een topologische ruimte naar een open deelverzameling van de $n$-dimensionale Euclidische ruimte $\mathbb {R} ^{n}$. Een synoniem is kaart.

Een atlas is een verzameling kaarten waarvan de domeinen de topologische ruimte overdekken, met de bijkomende eigenschap dat in de gebieden waar verschillende kaarten elkaar overlappen, de coördinatentransformaties in beide richtingen continu zijn.

Een topologische ruimte die voorzien is van een atlas, noemt men een variëteit.

Lokaal kan de positieverschilvector bij kleine veranderingen van de coördinaten in het algemeen bij benadering geschreven worden als een lineaire combinatie van de afgeleiden van de positie naar elke coördinaat, met als coëfficiënten de veranderingen van de coördinaten. In een natuurkundige context is het product van de dimensie van een coördinaat en de dimensie van de bijhehorende afgeleide voor alle coördinaten gelijk, namelijk lengte.