Kwadratuur van de cirkel

De kwadratuur van de cirkel is een wiskundig vraagstuk, dat voor het eerst is geformuleerd door meetkundigen in het oude Griekenland, onder meer Anaxagoras, Hippocrates, Archimedes en Dinostratos. De vraag is of het mogelijk is om, met behulp van alleen passer en liniaal in een eindig aantal stappen een vierkant te construeren met exact dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel. De Griek Oenopides is wellicht de eerste geweest die de restricties omschreef van de toegestane middelen.

Een vierkant en cirkel met dezelfde oppervlakte.

Onmogelijkheid

Het vraagstuk dateert uit de tijd van de uitvinding van de meetkunde, en heeft duizenden jaren lang vele wiskundigen beziggehouden. Pas in 1882 werd door Ferdinand von Lindemann onomstotelijk bewezen dat het vraagstuk onoplosbaar is, al had men al lang een idee van de onhandelbaarheid van het vraagstuk.

De transcendentie van $\pi$

Voor de oplossing van het vraagstuk van de kwadratuur van de cirkel met passer en liniaal is de constructie van een lijnstuk met lengte ${\sqrt {\pi }}$ en daarmee van $\pi$ (pi) nodig. Al eerder was bewezen dat een constructie met passer en liniaal altijd 'vertaald' kan worden in het oplossen van een kwadratische vergelijking met hele coëfficiënten, en andersom is elke kwadratische vergelijking met gehele coëfficiënten om te zetten in een constructie met passer en liniaal. Maar in 1882 bewees Carl Louis Ferdinand von Lindemann dat π een transcendent oftewel een niet-algebraïsch getal is. Omdat π niet kan optreden als oplossing van een algebraïsche vergelijking in het algemeen, laat staan van een kwadratische vergelijking, is de constructie van het gevraagde lijnstuk onmogelijk en daarmee ook de kwadratuur van de cirkel.

Als er een rationaal getal wordt gebruikt als benadering voor π, wordt het construeren van een vierkant met bij benadering dezelfde oppervlakte als van de gegeven cirkel wel mogelijk, afhankelijk van de gekozen waarde. Dit is echter slechts een benadering die niet voldoet aan de eisen van het oorspronkelijke vraagstuk. Verscheidene wiskundigen hebben werkbare procedures laten zien, gebaseerd op verschillende benaderingen.

Door het verruimen van de eisen heeft het vraagstuk wel oplossingen. Zo kent het vraagstuk binnen de niet-euclidische meetkunde wel oplossingen.

De "kwadratuur van de cirkel" als metafoor

Het wiskundige bewijs dat de kwadratuur van de cirkel onmogelijk is, heeft veel vrije geesten er niet van weerhouden om toch vele jaren pogingen te ondernemen om het probleem hoe dan ook op te lossen. De nutteloosheid van dergelijke pogingen om het vraagstuk op te lossen, heeft ervoor gezorgd dat het in verband wordt gebracht met zaken die niets met het vraagstuk zelf te maken hebben. Het is dan slechts een manier om een nutteloze of vergeefse onderneming uit te drukken.

Aanverwante vraagstukken

• Driedeling van de hoek
• Verdubbeling van de kubus
• Benaderingen van π via meetkundige constructies

Mediabestanden

Zie de categorie Squaring the circle van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.