Het levi-civita-symbool is een discrete functie van drie variabelen . Deze functie wordt genoteerd als
ϵ
i
j
k
{\displaystyle \epsilon _{ijk}}
Visuele weergave van het Levi-Civita-symbool.
ϵ
i
j
k
=
{
+
1
als
(
i
,
j
,
k
)
een even permutatie van
(
1
,
2
,
3
)
is.
−
1
als
(
i
,
j
,
k
)
een oneven permutatie van
(
1
,
2
,
3
)
is.
0
in andere gevallen, d.i.:
i
=
j
of
j
=
k
of
k
=
i
{\displaystyle \epsilon _{ijk}=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{als }}(i,j,k){\mbox{ een even permutatie van }}(1,2,3){\mbox{ is.}}\\-1&{\mbox{als }}(i,j,k){\mbox{ een oneven permutatie van }}(1,2,3){\mbox{ is.}}\\0&{\mbox{in andere gevallen, d.i.: }}i=j{\mbox{ of }}j=k{\mbox{ of }}k=i\end{matrix}}\right.}
Een permutatie is (on)even als het geschreven kan worden als een (on)even aantal transposities.
Deze functie is genoemd naar de Italiaanse wiskundige Tullio Levi-Civita (1873-1941).
Er is ook een rechtstreeks verband met de kronecker-delta dat blijkt uit volgende formules:
∑
i
=
1
3
ϵ
i
j
k
ϵ
i
m
n
=
δ
j
m
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
m
{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\epsilon _{ijk}\epsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}}
∑
i
,
j
=
1
3
ϵ
i
j
k
ϵ
i
j
n
=
2
δ
k
n
{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}\epsilon _{ijk}\epsilon _{ijn}=2\delta _{kn}}
De functie van drie variabelen kan probleemloos uitgebreid worden naar een functie van
n
{\displaystyle n}
ϵ
i
j
k
⋯
=
{
+
1
als
(
i
,
j
,
k
,
⋯
)
een even permutatie van
(
1
,
2
,
3
,
⋯
,
n
)
is.
−
1
als
(
i
,
j
,
k
,
⋯
)
een oneven permutatie van
(
1
,
2
,
3
,
⋯
,
n
)
is.
0
in andere gevallen, d.i.:
i
=
j
of
j
=
k
of
k
=
i
of
⋯
{\displaystyle \epsilon _{ijk\cdots }=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{als }}(i,j,k,\cdots ){\mbox{ een even permutatie van }}(1,2,3,\cdots ,n){\mbox{ is.}}\\-1&{\mbox{als }}(i,j,k,\cdots ){\mbox{ een oneven permutatie van }}(1,2,3,\cdots ,n){\mbox{ is.}}\\0&{\mbox{in andere gevallen, d.i.: }}i=j{\mbox{ of }}j=k{\mbox{ of }}k=i{\mbox{ of }}\cdots \end{matrix}}\right.}
