Maclaurin-reeks

In de analyse is een maclaurin-reeks een speciaal geval van de taylorreeks waarvoor als ontwikkelingspunt het punt 0 is gekozen. De reeks is genoemd naar de Schotse wiskundige Colin Maclaurin. Als de functie $f$ willekeurig vaak differentieerbaar is in een complexe omgeving van het punt 0, wordt de maclaurin-reeks van $f$ in een complexe omgeving van 0 gegeven door:

f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}=f(0)+f'(0)\ x+{\tfrac {1}{2}}f''(0)\ x^{2}+\ldots

Door een geschikte substitutie kan men elke taylorreeks als een maclaurin-reeks interpreteren

f(x_{0}+h)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}h^{n}=f(x_{0})+f'(x_{0})h+{\tfrac {1}{2}}f''(x_{0})h^{2}+\ldots

is de maclaurin-reeks van de functie

h\mapsto f(x_{0}+h)

Voor functies die in het punt 0 niet zijn gedefinieerd of niet differentieerbaar zijn, zoals $1/x$ en $\log(x)$ laat zich geen maclaurin-reeks ontwikkelen.

Voorbeelden

Voor de exponentiële functie $f(x)=e^{x}$ is $f(0)=1,f'(0)=1,f''(0)=1,\ldots$ en dus is de maclaurin-reeks ervan de reeks

e^{x}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}

Voor een negatieve $x$ is dat:

e^{-x}=1-x+{x^{2} \over 2!}-{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}-\ldots

Voor de inverse functies:

\ln(1+x)=x-{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 3}-{x^{4} \over 4}+\ldots

\ln(1-x)=-x-{x^{2} \over 2}-{x^{3} \over 3}-{x^{4} \over 4}-\ldots

Voor de sinus $f(x)=\sin(x)$ is $f'(x)=\cos(x),f''(x)=-\sin(x),f'''(x)=-\cos(x),f''''(x)=\sin(x),\ldots$ en aangezien $\sin(0)=0$ en $\cos(0)=1$ , is de maclaurin-reeks van de sinus:

\sin(x)={x \over 1!}-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}

Voor cos is dat:

\cos(x)=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}+\ldots

Voor de hyperbolische functies:

\sinh(x)={x \over 1!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}+{x^{7} \over 7!}+\ldots

\cosh(x)=1+{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}+{x^{6} \over 6!}+\ldots