Mersennepriemgetal

In de wiskunde is een mersennepriemgetal een priemgetal van de vorm $2^{n}-1$ , met $n$ een natuurlijk getal.

Getallen $M_{n}$ van de vorm

M_{n}=2^{n}-1

worden mersennegetallen genoemd. In sommige definities wordt geëist dat de exponent $n$ een priemgetal is.^[1] Mersennegetallen zijn genoemd naar de Franse wiskundige Marin Mersenne, die deze getallen in de 17e eeuw voor het eerst onderzocht.

Als $M_{n}$ een mersennepriemgetal is, is de exponent $n$ zelf ook een priemgetal. Immers:

2^{ab}-1=(2^{a}-1)\left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\ldots +2^{(b-1)a}\right)

Geschiedenis

Tabel van het vermoeden van Mersenne: $n\leq 263$

P: $M_{n}$ is priem —: $M_{n}$ is samengesteld Mersenne had gelijk. Hij had het fout.
$n$	2	3	5	7	11	13	17	19
$M_{n}$	P	P	P	P	—	P	P	P
$n$	23	29	31	37	41	43	47	53
$M_{n}$	—	—	P	—	—	—	—	—
$n$	59	61	67	71	73	79	83	89
$M_{n}$	—	P	—	—	—	—	—	P
$n$	97	101	103	107	109	113	127	131
$M_{n}$	—	—	—	P	—	—	P	—
$n$	137	139	149	151	157	163	167	173
$M_{n}$	—	—	—	—	—	—	—	—
$n$	179	181	191	193	197	199	211	223
$M_{n}$	—	—	—	—	—	—	—	—
$n$	227	229	233	239	241	251	257	263
$M_{n}$	—	—	—	—	—	—	—	—

Mersenne beweerde in 1644 dat $p=M_{n}$ priem is als $n=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257$ , maar dat $p$ een samengesteld getal is wanneer $n$ een van de andere priemgetallen, kleiner dan 257, is. Mersenne zat er wat betreft bovenstaande rij vijf keer naast. $M_{67}$ en $M_{257}$ zijn geen priemgetallen, terwijl $M_{61}$ , $M_{89}$ en $M_{107}$ dit juist wel zijn.

Het grootste bekende priemgetal is sinds 1952 een mersennepriemgetal, met uitzondering van de periode van 1989 tot 1992 toen een ander getal was gevonden.^[2] Er wordt met GIMPS door distributed computing, over internet, naar nieuwe priemgetallen gezocht. Het is in 1996 begonnen en sinds 2005 zijn alle nieuwe grootste priemgetallen, steeds mersennepriemgetallen, met GIMPS gevonden. Het grootst bekende priemgetal is in oktober 2024 gevonden: het is 2^{136 279 841}-1. Het was het 52e mersennepriemgetal dat is gevonden.^[3]

Theorie

Poststempel van ongeveer 1964 tot 1976 gebruikt door het wiskundedepartement van het UIUC, naar aanleiding van de mersennepriemgetallen in 1963 door D Gillies ontdekt

De drie kleinste mersennepriemgetallen zijn

M_{2}=3,\ M_{3}=7,\ M_{5}=31

Hoewel mersennegetallen $M_{p}$ alleen priem kunnen zijn als $p$ ook een priemgetal is, zijn er mersennegetallen $M_{p}$ die geen priemgetal zijn, terwijl $p$ dat wel is.

Het kleinste tegenvoorbeeld is het mersennegetal

M_{11}=2^{11}-1=2047=23\times 89

Het ontbreken van een duidelijke regel om te bepalen of een gegeven mersennegetal een priemgetal is maakt de zoektocht naar mersennepriemgetallen een interessante taak, die, aangezien mersennegetallen zeer snel groeien, heel snel zeer moeilijk wordt. De Lucas-Lehmertest voor mersennegetallen is een efficiënte priemgetaltest, die wordt gebruikt om te bepalen of een mersennegetal ook een mersennepriemgetal is. Deze test is eenvoudiger uit te voeren dan testen voor andere typen van getallen. Het grootst bekende priemgetal is daarom vrijwel altijd een mersennepriemgetal.

Perfecte getallen en mersennepriemgetallen

Er is een verband tussen mersennepriemgetallen en perfecte getallen. Perfecte getallen zijn getallen waarbij de som van de delers gelijk is aan het getal zelf. Als namelijk $2^{n}-1$ een priemgetal is, dan is $2^{n-1}(2^{n}-1)$ een perfect getal. Het omgekeerde geldt ook: ieder, in ieder geval even, perfect getal kan worden geschreven als $2^{n-1}(2^{n}-1)$ waarbij $n$ een priemgetal is en $2^{n}-1$ een mersennepriemgetal.

Voorbeeld: voor $n=3$ geldt dat $2^{n}-1=7$ een priemgetal is, en $2^{n-1}(2^{n}-1)=2^{2}(2^{3}-1)=4\times 7=28$ een perfect getal is.

Toepassingen van mersennepriemgetallen liggen in beveiliging van gegevens met behulp van encryptie en in het genereren van toevalsgetallen, dat gaat met de mersennetwister.

Bekende mersennepriemgetallen

Er zijn op dit moment 52 mersennepriemgetallen bekend, het laatste en het grootste is in oktober 2024 gevonden.

naam M_n	getal	datum van ontdekking	ontdekt door
M₅₂	2^{136 279 841}−1 met 41 024 320 cijfers	12 oktober 2024	L Durant met GIMPS ^[3]
M₅₁	2^{82 589 933}−1 met 24 862 048 cijfers	7 december 2018	P Laroche met GIMPS ^[4]
M₅₀	2^{77 232 917}−1 met 23 249 425 cijfers	26 december 2017	J Pace met GIMPS
M₄₉	2^{74 207 281}−1 met 22 338 618 cijfers	7 januari 2016	C Cooper met GIMPS
M₄₈	2^{57 885 161}−1 met 17 425 170 cijfers	25 januari 2013	C Cooper met GIMPS
M₄₇	2^{42 643 801}−1 met 12 837 064 cijfers	12 april 2009	OM Strindmo met GIMPS
M₄₆	2^{37 156 667}−1 met 11 185 272 cijfers	6 september 2008	H-M Elvenich met GIMPS
M₄₅	2^{43 112 609}−1 met 12 978 189 cijfers	23 augustus 2008	Universiteit van Californië - Los Angeles met GIMPS
M₄₄	2^{32 582 657}−1 met 9 808 358 cijfers	4 september 2006	C Cooper en S Boone met GIMPS
M₄₃	2^{30 402 457}−1 met 9 152 052 cijfers	15 december 2005	C Cooper en S Boone met GIMPS
M₄₂	2^{25 964 951}−1 met 7 816 230 cijfers	28 februari 2005	M Nowak in samenwerking, Duitsland
M₄₁	2^{24 036 583}−1 met 7 235 733 cijfers	15 mei 2004	J Findley in samenwerking, Verenigde Staten
M₄₀	2^{20 996 011}−1 met 6 320 430 cijfers	17 november 2003	M Shafer in samenwerking, Verenigde Staten
M₃₉	2^{13 466 917}−1	14 november 2001	M Cameron in samenwerking, Canada
M₃₈	2^{6 972 593}−1	1 juni 1999	N Hajratwala in samenwerking, Verenigde Staten
M₃₇	2^{3 021 377}−1	27 januari 1998	R Clarkson in samenwerking, Verenigde Staten
M₃₆	2^{2 976 221}−1	24 augustus 1997	G Spence in samenwerking, Verenigd Koninkrijk
M₃₅	2^{1 398 269}−1	november 1996	J Armengaud in samenwerking, Frankrijk
M₃₄	2^{1 257 787}−1	1996	D Slowinski en P Gage
M₃₃	2^{859 433}−1	1994	D Slowinski en P Gage
M₃₂	2^{756 839}−1	1992	D Slowinski en P Gage
M₃₁	2^{110 503}−1	1988	D Slowinski
M₃₀	2^{216 091}−1	1985	D Slowinski
M₂₉	2^{132 049}−1	1983	W Colquitt en L Welsh
M₂₈	2^{86 243}−1	1982	D Slowinski
M₂₆, M₂₇	2^{23 209}−1, 2^{44 497}−1	1979	LC Noll
M₂₅	2^{21 701}−1	1978	LC Noll en L Nickel
M₂₄	2^{19 937}−1	1971	B Tuckerman
M₂₁ - M₂₃	2^{9 689}−1, 2^{9 941}−1, 2^{11 213}−1	1963	DB Gillies
M₁₉, M₂₀	2^{4 253}−1, 2^{4 423}−1	1961	A Hurwitz
M₁₈	2^{3 217}−1	1957	H Riesel
M₁₃ - M₁₇	2⁵²¹−1, 2⁶⁰⁷−1, 2^{1 279}−1, 2^{2 203}−1, 2^{2 281}−1	1952	RM Robinson
M₁ - M₁₂	2²−1, 2³−1, 2⁵−1, 2⁷−1, 2¹³−1, 2¹⁷−1 2¹⁹−1, 2³¹−1, 2⁶¹−1, 2⁸⁹−1, 2¹⁰⁷−1, 2¹²⁷−1	voor 1915	Oud-Griekse wiskunde, Pietro Cataldi, Leonhard Euler, I Pervushin, RE Powers, Édouard Lucas

voetnoten

↑ (en) Rij: A000668 Mersenne primes (of form 2^p - 1 where p is a prime).
(en) Rij: A000225 a(n) = 2^n - 1. (Sometimes called Mersenne numbers, although that name is usually reserved for A001348.)
(en) Rij: A001348 Mersenne numbers: 2^p - 1, where p is prime. Gearchiveerd op 21 september 2024.
↑ (en) C Caldwell voor de University of Tennessee. Het grootste bekende priemgetal per jaar: een korte geschiedenis, december 2018. exacte datum niet vermeld
↑ ^a ^b (en) Mersenne Prime Number discovery - 2^136279841-1 is Prime! (21 oktober 2024). Geraadpleegd op 22 oktober 2024.
↑ (en) GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2^82,589,933−1. 21 december 2018. Gearchiveerd op 6 september 2024.

websites

(en) GIMPS-project: Great Internet Mersenne Prime Search

[1] (en) Rij: A000668 Mersenne primes (of form 2^p - 1 where p is a prime).
(en) Rij: A000225 a(n) = 2^n - 1. (Sometimes called Mersenne numbers, although that name is usually reserved for A001348.)
(en) Rij: A001348 Mersenne numbers: 2^p - 1, where p is prime. Gearchiveerd op 21 september 2024.

[2] (en) C Caldwell voor de University of Tennessee. Het grootste bekende priemgetal per jaar: een korte geschiedenis, december 2018. exacte datum niet vermeld

[M136279841-3] (en) Mersenne Prime Number discovery - 2^136279841-1 is Prime! (21 oktober 2024). Geraadpleegd op 22 oktober 2024.

[4] (en) GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2^82,589,933−1. 21 december 2018. Gearchiveerd op 6 september 2024.

[1]

[2]

[3]

[4]