Nilpotente matrix

In de lineaire algebra heet een vierkante matrix nilpotent als de matrix enige malen met zichzelf vermenigvuldigd de nulmatrix oplevert.

Definitie

De $n\times n$-matrix $A$ heet nilpotent met index $s$ als

$A^{s}=0$ en $A^{s-1}\neq 0$.

Eigenschappen

• De index $s$ van een nilpotente $n\times n$-matrix is kleiner of gelijk aan $n$
• De eigenwaarden van een nilpotente matrix zijn alle gelijk aan 0.
• Omgekeerd geldt ook dat een matrix waarvan alle eigenwaarden gelijk zijn aan 0, nilpotent is.
• De determinant en het spoor van een nilpotente matrix zijn 0.
• Een nilpotente matrix is niet inverteerbaar;
• Een bovendriehoeksmatrix of benedendriehoeksmatrix, waarvan de elementen op de hoofddiagonaal 0 zijn, is nilpotent.

Voorbeelden

Voor de matrix $A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$ geldt: $A^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}$, dus $A$ is nilpotent met index 2

Voor de matrix $B={\begin{bmatrix}0&1&7\\0&0&2\\0&0&0\end{bmatrix}}$ geldt: $B^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$ en $B^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$, dus $B$ is nilpotent met index 3.