Nul-één-wet van Blumenthal

De nul-één-wet van Blumenthal, genoemd naar R. M. Blumenthal, is een stelling op het gebied van de stochastische processen. Net als alle nul-één-wetten beschrijft de stelling een klasse gebeurtenissen die slechts kunnen optreden met kans 0, dan wel met kans 1.

Stelling

Laat $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ een kansruimte zijn en $(B_{t})_{t\geq 0}$ een daarop gedefinieerde brownse beweging met filter ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma (\{B_{s}\mid s\leq t\})$. Dan is de σ-algebra ${\mathcal {F}}_{0}^{+}$, gedefinieerd door

${\mathcal {F}}_{0}^{+}=\bigcap _{t>0}{\mathcal {F}}_{t}$,

P-triviaal, wat wil zeggen dat voor alle $A\in {\mathcal {F}}_{0}^{+}$ geldt: $P(A)=0$ of $P(A)=1$.

${\mathcal {F}}_{0}^{+}$ bevat dus precies die gebeurtenissen die slechts voor willekeurig kleine $\varepsilon$ van $(B_{t})_{0\leq t\leq \varepsilon }$ afhangen. Zo is bijvoorbeeld de gebeurtenis $A=\{\forall \varepsilon >0\exists t>0:\;t<\varepsilon \wedge B_{t}=0\}\in {\mathcal {F}}_{0}^{+}$ en is $P(A)\in \{0,1\}$.

Literatuur

• Blumenthal, R.M.: An extended Markov property. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 85, 1957, S. 52-72.
• Klenke, Achim: Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8