Nul-één-wet van Hewitt-Savage

De Nul-één-wet van Hewitt-Savage is een stelling in de kansrekening die net als andere nul-één-wetten een uitspraak doet wanneer een gebeurtenis bijna zeker is (dus optreedt met kans 1) of bijna onmogelijk is (dus kans 0 heeft).

Stelling

Laat $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ een rij onderling onafhankelijke en gelijkverdeelde stochastische variabelen zijn, en ${\mathcal {E}}$, de bijbehorende uitwisselbare σ-algebra. Dan is ${\mathcal {E}}$ P-triviaal, wat wil zeggen dat voor elke gebeurtenis $E\in {\mathcal {E}}$ geldt

$P(E)=0$ of $P(E)=1$

De stelling kan afgeleid worden van de Nul-één-wet van Kolmogorov. Die stelt dat de staart-σ-algebra van een rij onderling onafhankelijke gelijkverdeelde stochastische variabelen altijd P-triviaal is. Maar onafhankelijke gelijkverdeelde variabelen zijn ook uitwisselbaar, zodat voor elke uitwisselbare gebeurtenis $E\in {\mathcal {E}}$ er een staartgebeurtenis $B\in {\mathcal {T}}$ bestaat, waarvoor $P(E\,\triangle \,B)=0$. Hieruit volgt direct de stelling

Literatuur

• Achim Klenke: Probability Theory, 3e druk, 2013, Springer, Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-36017-6