Rechte van Euler

De rechte van Euler is de lijn door het hoogtepunt H, het zwaartepunt Z en het middelpunt O van de omgeschreven cirkel van een driehoek. De ontdekking van deze lijn wordt aan Leonhard Euler toegeschreven.

Rechte van Euler

De verhouding van de lengtes van de lijnstukken HZ en ZO is HZ:ZO = 2:1. Het middelpunt van de negenpuntscirkel ligt ook op de rechte van Euler.

Het lijnstuk OZH uit de rechte van Euler heeft lengte

$OZH={\sqrt[{2}]{9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}},$

waarbij a, b en c de lengten van de zijden zijn van ΔABC zijn en R de straal is van de omgeschreven cirkel van ΔABC.

Overige

• In barycentrische coördinaten gebruikmakend van conway-driehoeknotatie is de vergelijking van de rechte van Euler

$S_{A}(b^{2}-c^{2})x+S_{B}(c^{2}-a^{2})y+S_{C}(a^{2}-b^{2})z=0$

• Het oneigenlijke punt van de rechte van Euler is het driehoekscentrum met kimberlingnummer X(30) en heeft barycentrische coördinaten

$\left((b^{2}-c^{2})^{2}+a^{2}(b^{2}+c^{2})-2a^{4}:(c^{2}-a^{2})^{2}+b^{2}(a^{2}+c^{2})-2b^{4}:(a^{2}-b^{2})^{2}+c^{2}(a^{2}+b^{2})-2c^{4}\right).$

Websites

• D Klingens. Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek, april 2007.