Spoor (galoistheorie)

In de wiskunde is een spoor een bepaalde functie gedefinieerd met betrekking tot een eindige velduitbreiding L/K, wat een K-lineaire afbeelding is van L naar K.

Zij L een eindige Galois-uitbreiding van K met Galoisgroep G = Gal(L/K). Voor een element α ∈ L is het spoor (van L naar K) van α gedefinieerd als^[1]

Tr_{L/K}(\alpha )=\sum _{\sigma \in G}\sigma (\alpha )

.

Met andere woorden: Tr_L/K(α) is de som van de elementen die geconjugeerd zijn aan α. Voor elke α ∈ L geldt dat Tr_L/K(α) een element is uit K. Veronderstel dat voor een element α ∈ L, een lineaire transformatie T_α : L → L bestaat, die gegeven wordt door T_α(β) = αβ. Dan is T_α een homomorfisme over de vectorruimte K en voor het spoor geldt

Tr_{L/K}(\alpha )=Tr(T_{\alpha })

.

Voorbeeld 1

Zij K = $\mathbb {F} _{2}$ en L = $\mathbb {F} _{2^{4}}$ . Als we het spoor van een element α ∈ $\mathbb {F} _{2^{4}}$ willen uitrekenen, nemen we de som van de elementen die geconjugeerd zijn aan α oftewel

Tr_{L/K}(\alpha )=\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{4}+\alpha ^{8}

.

Voorbeeld 2

Zij K een willekeurig lichaam en veronderstel dat L = K(√d) voor een zekere d ∈ K \ K². Een geschikte basis voor L is {1, √d}. Van een element uit L, α = a + b√d met a, b ∈ K kan het spoor bepaald worden. De lineaire transformatie T_α is gelijk aan aL₁ + bL_√d. Daartoe moeten de representatiematrices voor L₁ en L_√d bepaald worden. Bij de identiteitstransformatie L₁ hoor de matrix

{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}

.

Voor L_√d geldt er L_√d(1) = √d = 0 * 1 + 1 * √d
L_√d(√d) = d = d * 1 + 0 * √d
Hieruit volgt dat de representatiematrix voor L_√d wordt ${\begin{bmatrix}0&1\\d&0\end{bmatrix}}$ . De matrix voor T_α wordt dan gegeven door