Stelling van Glivenko–Cantelli

De stelling van Glivenko–Cantelli is een stelling uit de kansrekening die het asymptotische gedrag beschrijft van de empirische verdelingsfunctie bij toenemende steekproefomvang. De stelling werd in 1933 geformuleerd door Valeri Ivanovič Glivenko en Francesco Paolo Cantelli.

Stelling van Glivenko–Cantelli

Stel $X_{1},X_{2},\dots$ zijn onderling onafhankelijke en identiek verdeelde toevalsvariabelen. Dan convergeert de empirische verdelingsfunctie $F_{n}$ van de eerste n X-en met toenemende n bijna zeker naar de gemeenschappelijke verdelingsfunctie $F$.

$\|F_{n}-F\|_{\infty }=\sup _{x\in R}|F_{n}(x)-F(x)|\ \to \ 0\$  _{^{(bijna zeker).}}

Volgens de wet van de grote aantallen convergeert de empirische verdelingsfunctie puntsgewijs bijna zeker naar de verdelingsfunctie, dat wil zeggen voor alle $x$ geldt:

$F_{n}(x)\to F(x)$  _{(bijna zeker).}

De stelling van Glivenko-Cantelli laat zien dat de convergentie ook uniform is.