Lichaamsuitbreiding (Ned) / Velduitbreiding (Be)

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een lichaamsuitbreiding (Nederlands) of velduitbreiding (Belgisch) van een lichaam / veld $K$, in het vervolg kort uitbreiding van $K$ genoemd, ieder lichaam/veld $L$ waarvan $K$ een (strikt) deellichaam / deelveld is. Een uitbreiding van het lichaam/veld $K$ wordt verkregen door aan $K$ een of meer nieuwe elementen toe te voegen. Men noteert de uitbreiding als $L/K$, of ook wel als $L|K$, $L\colon K$ of $(L,K)$. Als $L$ uit $K$ ontstaat door daar de elementen $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ aan toe te voegen, schrijft men voor de uitbreiding $K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$.

Zo vormen de complexe getallen $\mathbb {C} =\mathbb {R} (i)$ een uitbreiding van de reële getallen $\mathbb {R}$ door daaraan als nieuw element de imaginaire eenheid $i$ toe te voegen. In $\mathbb {R}$ heeft de vergelijking $x^{2}+1=0$ geen oplossingen. Voegt men echter een nieuw element toe, de imaginaire eenheid $i$, die is gedefinieerd als een oplossing van deze vergelijking, en voegt men vervolgens ook alle elementen toe die noodzakelijk zijn om een lichaam/veld te vormen, dan verkrijgt men het lichaam/veld $\mathbb {C}$ van de complexe getallen. Een gevolg van de hoofdstelling van de algebra is dat alle oplossingen van een algebraïsche vergelijking in $\mathbb {C}$ liggen.

Uitbreidingsgraad

De uitbreidingsgraad van de uitbreiding $L/K$ is de dimensie van $L$ als vectorruimte over $K$. Deze uitbreidingsgraad wordt genoteerd met $[L:K]$. Zo is bijvoorbeeld $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$, want $\{1,i\}$ is een basis van $\mathbb {C}$ over $\mathbb {R}$.

Het principe van de uitbreidingen kan naar ringuitbreidingen worden uitgebreid, op te vatten als een ring en een van haar deelringen.

Normale uitbreiding

Een algebraïsche uitbreiding $L/K$ heet normaal, als elke irreducibele polynoom in $K[X]$ die een wortel heeft in $L$, geheel gefactoriseerd kan worden in lineaire factoren over $L$. Elke algebraïsche uitbreiding $F/K$ heeft een normale afsluiting $L$ die een lichaamsuitbreiding is van $F$ zodat $L/K$ normaal is en die de 'kleinste' is met deze eigenschap, wat inhoudt dat $L$ deellichaam is van elke andere met deze eigenschap