Voetpuntsdriehoek

De voetpuntsdriehoek in een driehoek ten opzichte van een bepaald punt is de driehoek met als hoekpunten de loodrechte projecties van dat punt op de drie zijden van .

De rode driehoek is de voetpuntsdriehoek van het blauwe punt.
is de voetpuntsdriehoek van het hoogtepunt van .

Eigenschappen

bewerken

De omgeschreven cirkel van de voetpuntsdriehoek van   heet de voetpuntscirkel van  . Isogonaal verwante punten hebben dezelfde voetpuntscirkel.

Een ingeschreven driehoek   in  , met   op  ,   op   en   op  , is een voetpuntsdriehoek van een punt   dan en slechts dan als

 

Oppervlakte

bewerken

De oppervlakte   van de voetpuntsdriehoek   van een punt   is gegeven door de formule

 

Hierin zijn   de straal en   het middelpunt van de voetpuntscirkel. De oppervlakte van   is dus evenredig met de macht van   ten opzichte van de voetpuntscirkel.

De lengtes van de zijden van een driehoek   en daarvan de voetpuntsdriehoek   van een punt   verhouden zich als:

 

In het bijzonder volgt hieruit dat de voetpuntsdriehoeken van   ten opzichte van  , van   ten opzichte van  , van   ten opzichte van   en van   ten opzichte van   gelijkvormig zijn.

Laat   de voetpuntsdriehoek van   zijn ten opzichte van  , dan is   de tweede voetpuntsdriehoek. Laat nu   de voetpuntsdriehoek zijn van   ten opzichte van  , de derde voetpuntsdriehoek. Er geldt dat de derde voetpuntsdriehoek gelijkvormig is met  .

De voetpuntsdriehoek van   is gelijkvormig met de om-ceva-driehoek van  .

Barycentrische coördinaten

bewerken

Wanneer   als barycentrische coördinaten   heeft, dan hebben, gebruikmakend van conway-driehoeknotatie, de hoekpunten van de voetpuntsdriehoek als coördinaten:

  •  
  •  
  •  

Voetpuntsdriehoek van het hoogtepunt

bewerken

De negenpuntscirkel van de driehoek   is de omgeschreven cirkel van de voetpuntsdriehoek van   ten opzichte van het hoogtepunt van  .

Stel je de gegeven driehoek als een biljarttafel voor, dan is de voetpuntsdriehoek de enige gesloten driehoekige baan die een bal in het biljart kan afleggen. De voetpuntsdriehoek ten opzichte van het hoogtepunt is de ingeschreven driehoek met de kleinste omtrek.

De barycentrische coördinaten van de hoekpunten van de voetpuntsdriehoek zijn, gebruikmakend van conway-driehoeknotatie:

  •  
  •  
  •  

Websites

bewerken