Vrije groep
In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een vrije groep een groep die een deelverzameling bevat zodat elk element van op precies een manier als gereduceerd woord van elementen van en hun inversen kan worden geschreven. Een soort groep die op een vrije groep lijkt, maar toch anders is, is een vrije abelse groep.
Definitie
bewerkenEen groep met groepoperatie is vrij over een deelverzameling als elk element op precies een manier geschreven kan worden als een product , waarbij voor alle geldt dat en , en voor alle dat . Zo'n product wordt in deze context een gereduceerd woord genoemd. Merk op dat het lege product ( ) hierbij het neutrale element ten opzichte van de groepoperatie representeert.
De machtnotatie is als volgt gedefinieerd:
- Als , dan geldt .
- Als , dan geldt .
Voorbeelden
bewerken- is een vrije groep over .
- De triviale groep , die alleen uit het neutrale element bestaat, is vrij over .