Warmtevergelijking

De warmtevergelijking of diffusievergelijking is een elementaire parabolische partiële differentiaalvergelijking die onder andere de variatie van temperatuur in een gegeven gebied in de tijd kan beschrijven.

Definitie

In drie dimensies heeft de vergelijking de volgende vorm:

$u_{t}=k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})$,

waarin:

• $u(t,x,y,z)$ de temperatuur is als functie van tijd en ruimte;
• $u_{t}$, de partiële afgeleide naar de tijd, de mate van temperatuurverandering is in de tijd in een gegeven punt;
• $u_{xx}$, $u_{yy}$, en $u_{zz}$ de tweede partiële afgeleiden zijn van de temperatuur naar een van de richtingen $x,\,y$ en $z$.
• $k$ een materiaal-specifieke constante, de temperatuurvereffeningscoëfficiënt is

Voor willekeurige dimensies kan de warmtevergelijking door middel van de Laplace-operator beschreven worden.

$u_{t}=k\Delta u$

Hierin wordt de Laplace-operator genomen over de variabelen die de ruimte beschrijven (in bovenstaand voorbeeld $x,\,y$ en $z$).

Natuurkundige interpretatie

De variabelen $u_{xx}$ zijn tweede afgeleiden naar (in dit geval) de dimensie $x$:

• $u$ weerspiegelt de temperatuur in elk punt;
• $u_{x}$ geeft het verloop van de temperatuur, en de warmte die gaat stromen is daarmee evenredig;
• $u_{xx}$ geeft het verschil in warmtestromen (bijvoorbeeld links in en rechts uit) en bepaalt daarmee hoeveel warmte op elk punt blijft hangen;
• de warmte die blijft hangen bepaalt hoeveel de temperatuur toeneemt, ofwel de waarde van $u_{t}$.

In dit alles spelen van het materiaal afhankelijke evenredigheidsfactoren een rol; die factoren zijn samengebracht in de warmtediffusiviteit $k$:

• $\lambda$ bepaalt hoeveel warmte door het materiaal gaat stromen als gevolg van de temperatuurgradiënt;
• er is geen omrekenfactor voor de bepaling van het verschil tussen warmtestromen;
• $1/{\rho \cdot c_{p}}$ bepaalt hoeveel de temperatuur van het materiaal toeneemt door de vastgehouden warmte.

Probleemstelling, randvoorwaarden

Om van de warmtevergelijking een zinvolle wiskundige (en fysische) probleemstelling te maken, moet ze nog aangevuld worden met randvoorwaarden. Dat wil zeggen dat bepaalde aspecten van de onbekende functie $u$ a priori worden vastgelegd op de rand van een deelverzameling van de ruimte-tijd. Meestal neemt dit de vorm aan van een afzonderlijke beginvoorwaarde op tijdstip $t=0$ en een ruimtelijke randvoorwaarde op de rand van een deelverzameling van de ruimtelijke coördinaten. In dat geval zoeken we naar functies $u$ voor strikt positieve tijdstippen en voor ruimtelijke coördinaten die binnen de gegeven deelverzameling liggen.

Voor de beginvoorwaarde wordt meestal de waarde van $u$ zelf vastgelegd voor $t=0$ en voor elke mogelijk punt in de ruimte (of het relevante deel van de ruimte).

Voor de ruimtelijke randvoorwaarde legt men meestal de waarde van $u$ zelf vast (probleem van Dirichlet), of haar richtingsafgeleide loodrecht op de rand van de gegeven verzameling (probleem van Neumann), of een combinatie van beide.

Voorbeeld

De temperatuurverdeling en -evolutie in een dunne geïsoleerde staaf van lengte $L$ wordt beschreven door een warmtevergelijking in één tijdelijke en één ruimtelijke coördinaat

$u_{t}=ku_{xx}$

De beginvoorwaarde specificeert de temperatuurverdeling $f$ op het begintijdstip $t=0$:

$\forall x\in [0,L]:u(0,x)=f(x)$

Het thermische isolement van de staaf vertolkt zich in de Neumann-randvoorwaarden

$\forall t>0:u_{x}(t,0)=u_{x}(t,L)=0$

Oplossing

De aanpak bestaat er meestal in, voor de specifieke vorm van de randvoorwaarden een geschikte greense functie te vinden. Bij ruimtelijke dimensie een betekent dit een functie

$g(t_{1},x_{1},t_{2},x_{2})$

die als functie van $t_{1}$ en $x_{1}$ voldoet aan de warmtevergelijking, maar waarbij de rand- en beginvoorwaarden herleid zijn tot een diracfunctie geconcentreerd in $(t_{2},\,x_{2})$.

De eigenlijke oplossing van het randvoorwaardeprobleem is dan de integraal van deze greense functie, gewogen met de echte begin- en randvoorwaarden als functie van $t_{2}$ en $x_{2}$.