Wishartverdeling

De wishartverdeling is een multivariate kansverdeling. De verdeling is in meer dimensies een generalisatie van de chi-kwadraatverdeling en bij een niet-geheel aantal vrijheidsgraden van de gamma-verdeling. De verdeling is genoemd naar John Wishart, die de verdeling voor het eerst formuleerde in 1928.

De wishartverdelingen vormen een familie van verdelingen van stochastische grootheden met als waarden symmetrische niet-negatief definiete matrices. Zij spelen een belangrijke rol bij de schattingen van covariantiematrices in de multivariate statistiek. In bayesiaanse statistiek is de wishartverdeling de geconjugeerde a-prioriverdeling van de inverse covariantiematrix van een meerdimensionaal normaalverdeelde stochastische vector.

Definitie

Zij $X$ een $n\times p$-matrix waarvan de rijen onderling onafhankelijk zijn en elke rij een steekproef is uit een $p$-dimensionale multivariate normale verdeling met verwachtingswaarde 0 en covariantiematrix $V$.

$X_{(i)}{=}(X_{i1},\dots ,X_{ip})\sim N_{p}(0,V).$

De wishartverdeling is dan de kansverdeling van de stochastische $p\times p$-matrix $S=X^{T}X$, en men noteert;

$S\sim W_{p}(V,n).$

Het positieve gehele getal $n$ heet het aantal vrijheidsgraden. Voor $n\geq p$ is $S$ met kans 1 niet-inverterrbaar als $V$ niet-inverterrbaar is.

Voor $p=1$ en $V=1$ komt de wishartverdeling overeen met de chi-kwadraatverdeling met 1 vrijheidsgraad.

Kansdichtheid

Zij $V$ een positieve $p\times p$-matrix en $W$ een positief-definiete symmetrische stochastische $p\times p$-matrix die wishartverdeeld is met parameters $n\geq p$ en $V$:

$W\sim W_{p}(V,n)$

Dan wordt de kansdichtheid $f_{W}$ van $W$ gegeven wordt door:

$f_{W}(w)={\frac {\det(w)^{(n-p-1)/2}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}{\rm {sp}}(V^{-1}w)\right)}{2^{np/2}\det(V)^{n/2}\Gamma _{p}(n/2)}}$

Daarin staat $\det$ voor de determinant van een matrix, stelt $sp$ het spoor van een matrix voor, en is $\Gamma _{p}$ de meerdimensionale gammafunctie, gedefinieerd door:

$\Gamma _{p}({\tfrac {1}{2}}n)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(n+1-j)\right)$

Eigenschappen

De matrix $V$ in de wishartverdeling $W_{p}(V,n)$ is een schaalparameter, in de zin dat als de stochastische matrix $W$ wishartverdeeld is met parameters $(p,n,V)$:

$W\sim W_{p}(V,n)$,

de gestandaardiseerde matrix $V^{-{\tfrac {1}{2}}}WV^{-{\tfrac {1}{2}}}$ wishartverdeeld is met parameters $(p,n,I_{p})$:

$V^{-{\tfrac {1}{2}}}WV^{-{\tfrac {1}{2}}}\sim W_{p}(I_{p},n)$,

waarin $I_{p}$ de $p$-dimensionale eenheidsmatrix is.

De wishartverdeling is reproductief, wat inhoudt dat als $W_{1},\ldots ,W_{m}$ onderling onafhankelijke wishartverdeelde matrices zijn, met

$W_{i}\sim W_{p}(V,n_{i})$,

de som ook wishartverdeeld is met $n=n_{1}+\ldots +n_{m}$ vrijheidsgraden:

$W_{1}+\ldots +W_{m}\sim W_{p}(V,n)$