In de statistiek vormen de naar grootte gerangschikte elementen van een steekproef
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
continue stochastische variabelen , die onderling onafhankelijk zijn, maar niet noodzakelijk gelijkverdeeld , de geordende steekproef , meestal genoteerd als
X
(
1
)
≤
…
≤
X
(
n
)
{\displaystyle X_{(1)}\leq \ldots \leq X_{(n)}}
Met
X
(
k
)
{\displaystyle X_{(k)}}
rangnummer
k
{\displaystyle k}
X
k
:
n
{\displaystyle X_{k:n}}
knopen zijn, geldt dus:
X
(
k
)
=
X
i
⟺
r
i
=
k
{\displaystyle X_{(k)}=X_{i}\Longleftrightarrow r_{i}=k}
Als
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
x
(
1
)
≤
…
≤
x
(
n
)
{\displaystyle x_{(1)}\leq \ldots \leq x_{(n)}}
De elementen in de geordende steekproef zijn stochastisch afhankelijk en elk van de elementen is een steekproeffunctie van de oorspronkelijke steekproef. In het bijzonder is
X
(
1
)
=
min
(
X
1
,
…
,
X
n
)
{\displaystyle X_{(1)}=\min(X_{1},\ldots ,X_{n})}
en
X
(
n
)
=
max
(
X
1
,
…
,
X
n
)
{\displaystyle X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots ,X_{n})}
In de meeste gevallen worden gelijkverdeelde variabelen beschouwd, die dus een aselecte steekproef vormen.
In het algemene geval is de verdeling gecompliceerder en wordt deze gegeven door de stelling van Bapat–Beg, die in 1989 gepubliceerd werd door Bapat en Beg. De auteurs gaven geen bewijs, maar in 1994 gaf Hande een eenvoudig bewijs van de stelling.
Voor een aselecte steekproef van
X
,
{\displaystyle X,}
X
{\displaystyle X}
simultane verdeling voor
y
1
≤
y
2
≤
…
≤
y
n
{\displaystyle y_{1}\leq y_{2}\leq \ldots \leq y_{n}}
kansdichtheid :
f
X
(
1
)
,
…
,
X
(
n
)
(
y
1
,
…
,
y
n
)
=
n
!
∏
k
f
X
(
y
k
)
{\displaystyle f_{X_{(1)},\ldots ,X_{(n)}}(y_{1},\ldots ,y_{n})=n!\prod _{k}f_{X}(y_{k})}
De verdelingsfunctie van
X
(
k
)
{\displaystyle X_{(k)}}
F
X
(
k
)
(
x
)
=
P
(
X
(
k
)
≤
x
)
=
{\displaystyle F_{X_{(k)}}(x)=P(X_{(k)}\leq x)=}
=
∑
m
=
k
n
P
(
X
(
1
)
≤
x
,
…
,
X
(
m
)
≤
x
,
X
(
m
+
1
)
>
x
,
…
,
X
(
n
)
>
x
)
{\displaystyle =\sum _{m=k}^{n}P(X_{(1)}\leq x,\ldots ,X_{(m)}\leq x,X_{(m+1)}>x,\ldots ,X_{(n)}>x)}
=
∑
m
=
k
n
(
n
m
)
P
(
X
1
≤
x
,
…
,
X
m
≤
x
,
X
m
+
1
>
x
,
…
,
X
n
>
x
)
{\displaystyle =\sum _{m=k}^{n}{\tbinom {n}{m}}P(X_{1}\leq x,\ldots ,X_{m}\leq x,X_{m+1}>x,\ldots ,X_{n}>x)}
=
∑
m
=
k
n
(
n
m
)
(
F
X
(
x
)
)
m
(
1
−
F
X
(
x
)
)
n
−
m
{\displaystyle =\sum _{m=k}^{n}{\tbinom {n}{m}}\left(F_{X}(x)\right)^{m}\left(1-F_{X}(x)\right)^{n-m}}
want elk van de
(
n
m
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}
{
X
i
1
≤
x
,
…
,
X
i
m
≤
x
,
X
i
m
+
1
>
x
,
…
,
X
i
n
>
x
}
{\displaystyle \{X_{i_{1}}\leq x,\ldots ,X_{i_{m}}\leq x,X_{i_{m+1}}>x,\ldots ,X_{i_{n}}>x\}}
heeft dezelfde kans als
{
X
1
≤
x
,
…
,
X
m
≤
x
,
X
m
+
1
>
x
,
…
,
X
n
>
x
}
{\displaystyle \{X_{1}\leq x,\ldots ,X_{m}\leq x,X_{m+1}>x,\ldots ,X_{n}>x\}}
De dichtheid van
X
(
k
)
{\displaystyle X_{(k)}}
f
X
(
k
)
(
x
)
=
n
(
n
−
1
k
−
1
)
(
F
X
(
x
)
)
k
−
1
f
X
(
x
)
(
1
−
(
F
X
(
x
)
)
)
n
−
k
{\displaystyle f_{X_{(k)}}(x)=n{\tbinom {n-1}{k-1}}\left(F_{X}(x)\right)^{k-1}f_{X}(x)(1-\left(F_{X}(x)\right))^{n-k}}
Immers:
f
X
(
k
)
(
x
)
d
x
≈
P
(
X
(
k
)
∈
[
x
,
x
+
d
x
)
)
=
{\displaystyle f_{X_{(k)}}(x){\rm {d}}x\approx P(X_{(k)}\in [x,x+{\rm {d}}x))=}
=
n
(
n
−
1
k
−
1
)
P
(
X
1
≤
x
,
…
,
X
k
−
1
,
X
k
∈
[
x
,
x
+
d
x
)
)
,
X
k
+
1
>
x
,
…
,
X
n
>
x
)
{\displaystyle =n{\tbinom {n-1}{k-1}}P(X_{1}\leq x,\ldots ,X_{k-1},X_{k}\in [x,x+{\rm {d}}x)),X_{k+1}>x,\ldots ,X_{n}>x)}
=
n
(
n
−
1
k
−
1
)
F
X
(
x
)
⋅
…
⋅
F
X
(
x
)
f
X
(
x
)
d
x
(
1
−
F
X
(
x
)
)
⋅
…
⋅
(
1
−
F
X
(
x
)
)
{\displaystyle =n{\tbinom {n-1}{k-1}}F_{X}(x)\cdot \ldots \cdot F_{X}(x)f_{X}(x){\rm {d}}x(1-F_{X}(x))\cdot \ldots \cdot (1-F_{X}(x))}
Minimum en maximum Voor het minimum geldt dus:
F
X
(
1
)
(
x
)
=
1
−
(
1
−
F
X
(
x
)
)
n
{\displaystyle F_{X_{(1)}}(x)=1-\left(1-F_{X}(x)\right)^{n}}
f
X
(
1
)
(
x
)
=
n
(
1
−
F
X
(
x
)
)
n
−
1
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X_{(1)}}(x)=n\left(1-F_{X}(x)\right)^{n-1}f_{X}(x)}
en voor het maximum:
F
X
(
n
)
(
x
)
=
(
F
X
(
x
)
)
n
{\displaystyle F_{X_{(n)}}(x)=\left(F_{X}(x)\right)^{n}}
f
X
(
n
)
(
x
)
=
n
(
F
X
(
x
)
)
n
−
1
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X_{(n)}}(x)=n\left(F_{X}(x)\right)^{n-1}f_{X}(x)}
Voor een aselecte steekproef
U
1
,
…
,
U
n
{\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}
uniforme verdeling op het interval (0,1) is:
f
U
(
k
)
(
u
)
=
n
(
n
−
1
m
−
1
)
u
k
−
1
(
1
−
u
)
n
−
k
,
(
u
∈
(
0
,
1
)
)
{\displaystyle f_{U_{(k)}}(u)=n{\tbinom {n-1}{m-1}}u^{k-1}(1-u)^{n-k},\quad (u\in (0,1))}
Dit betekent dat
U
(
k
)
{\displaystyle U_{(k)}}
bètaverdeling heeft met parameters
k
{\displaystyle k}
n
+
1
−
k
{\displaystyle n+1-k}
U
(
k
)
∼
B
(
k
,
n
+
1
−
k
)
{\displaystyle U_{(k)}\sim B(k,n+1-k)}
De stochastische variabelen
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
F
i
=
F
X
i
,
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle F_{i}=F_{X_{i}},i=1,\ldots ,n}
X
(
r
1
)
≤
X
(
r
2
)
≤
…
≤
X
(
n
k
)
{\displaystyle X_{(r_{1})}\leq X_{(r_{2})}\leq \ldots \leq X_{(n_{k})}}
x
1
<
x
2
<
…
<
x
k
{\displaystyle x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{k}}
F
X
(
r
1
)
,
X
(
r
2
)
,
…
,
X
(
r
k
)
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
k
)
=
P
(
X
(
r
1
)
≤
x
1
,
X
(
r
2
)
≤
x
2
,
…
,
X
(
r
k
)
≤
x
k
)
=
{\displaystyle F_{X_{(r_{1})},X_{(r_{2})},\ldots ,X_{(r_{k})}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k})=P(X_{(r_{1})}\leq x_{1},X_{(r_{2})}\leq x_{2},\ldots ,X_{(r_{k})}\leq x_{k})=}
=
∑
n
k
=
r
k
n
…
∑
n
2
=
r
2
n
3
∑
n
1
=
r
1
n
2
P
n
1
,
…
,
n
k
(
x
1
,
…
,
x
k
)
n
1
!
(
n
2
−
n
1
)
!
…
(
n
−
n
k
)
!
{\displaystyle =\sum _{n_{k}=r_{k}}^{n}\ldots \sum _{n_{2}=r_{2}}^{n_{3}}\,\sum _{n_{1}=r_{1}}^{n_{2}}{\frac {P_{n_{1},\ldots ,n_{k}}(x_{1},\ldots ,x_{k})}{n_{1}!(n_{2}-n_{1})!\ldots (n-n_{k})!}}}
waarin
P
n
1
,
…
,
n
k
(
x
1
,
…
,
x
k
)
=
{\displaystyle P_{n_{1},\ldots ,n_{k}}(x_{1},\ldots ,x_{k})=}
=
per
(
[
F
11
…
F
11
F
12
−
F
11
…
F
12
−
F
11
…
F
1
k
−
F
1
,
k
−
1
…
F
1
k
−
F
1
,
k
−
1
1
−
F
1
k
…
1
−
F
1
k
F
21
…
F
21
F
22
−
F
21
…
F
22
−
F
21
…
F
2
k
−
F
2
,
k
−
1
…
F
2
k
−
F
2
,
k
−
1
1
−
F
2
k
…
1
−
F
2
k
⋮
⋮
⋮
F
n
1
…
F
n
1
⏟
n
1
F
n
2
−
F
n
1
…
F
n
2
−
F
n
1
⏟
n
2
−
n
1
…
F
n
k
−
F
n
,
k
−
1
…
F
n
k
−
F
n
,
k
−
1
⏟
n
k
−
n
k
−
1
1
−
F
n
k
…
1
−
F
n
k
⏟
n
−
n
k
]
)
{\displaystyle =\operatorname {per} \left({\begin{bmatrix}F_{11}\ldots F_{11}&F_{12}-F_{11}\ldots F_{12}-F_{11}&\ldots &F_{1k}-F_{1,k-1}\ldots F_{1k}-F_{1,k-1}&1-F_{1k}\ldots 1-F_{1k}\\F_{21}\ldots F_{21}&F_{22}-F_{21}\ldots F_{22}-F_{21}&\ldots &F_{2k}-F_{2,k-1}\ldots F_{2k}-F_{2,k-1}&1-F_{2k}\ldots 1-F_{2k}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\underbrace {F_{n1}\ldots F_{n1}} _{n_{1}}&\underbrace {F_{n2}-F_{n1}\ldots F_{n2}-F_{n1}} _{n_{2}-n_{1}}&\ldots &\underbrace {F_{nk}-F_{n,k-1}\ldots F_{nk}-F_{n,k-1}} _{n_{k}-n_{k-1}}&\underbrace {1-F_{nk}\ldots 1-F_{nk}} _{n-n_{k}}\end{bmatrix}}\right)}
de permanent is van de genoemde matrix met
F
r
m
=
F
r
(
x
m
)
{\displaystyle F_{rm}=F_{r}(x_{m})}
Bewijs
Definieer
N
i
=
|
{
j
|
X
j
≤
x
i
}
|
:
i
=
1
,
2
,
…
,
k
{\displaystyle N_{i}=|\{j|X_{j}\leq x_{i}\}|:i=1,2,\ldots ,k}
dan
P
(
X
(
r
1
)
≤
x
1
,
…
,
X
(
r
k
)
≤
x
k
)
=
P
(
r
1
≤
N
1
,
r
2
≤
N
2
,
…
,
r
k
≤
N
k
)
=
{\displaystyle P(X_{(r_{1})}\leq x_{1},\ldots ,X_{(r_{k})}\leq x_{k})=P(r_{1}\leq N_{1},r_{2}\leq N_{2},\ldots ,r_{k}\leq N_{k})=}
=
∑
n
k
=
r
k
n
∑
n
k
−
1
=
r
k
−
1
n
k
…
∑
n
2
=
r
2
n
3
∑
n
1
=
r
1
i
2
P
(
N
1
=
n
1
,
N
2
=
n
2
,
…
,
N
k
=
n
k
)
{\displaystyle =\sum _{n_{k}=r_{k}}^{n}\sum _{n_{k-1}=r_{k-1}}^{n_{k}}\ldots \sum _{n_{2}=r_{2}}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=r_{1}}^{i_{2}}P(N_{1}=n_{1},N_{2}=n_{2},\ldots ,N_{k}=n_{k})}
Daarin is, met
σ
{\displaystyle \sigma }
1
,
…
,
n
{\displaystyle 1,\ldots ,n}
x
0
=
−
∞
,
n
0
=
0
,
x
k
+
1
=
+
∞
{\displaystyle x_{0}=-\infty ,n_{0}=0,x_{k+1}=+\infty }
n
k
+
1
=
n
{\displaystyle n_{k+1}=n}
P
(
N
1
=
n
1
,
N
2
=
n
2
,
…
,
N
k
=
n
k
)
=
{\displaystyle P(N_{1}=n_{1},N_{2}=n_{2},\ldots ,N_{k}=n_{k})=}
=
1
n
1
!
(
n
2
−
n
1
)
!
…
(
n
−
n
k
)
!
∑
σ
P
(
X
σ
(
1
)
≤
x
1
,
…
,
X
σ
(
n
1
)
≤
x
1
,
x
1
<
X
σ
(
n
1
+
1
)
≤
x
2
,
…
,
x
1
<
X
σ
(
n
2
)
≤
x
2
,
…
)
=
{\displaystyle ={\frac {1}{n_{1}!(n_{2}-n_{1})!\ldots (n-n_{k})!}}\sum _{\sigma }P(X_{\sigma (1)}\leq x_{1},\ldots ,X_{\sigma (n_{1})}\leq x_{1},x_{1}<X_{\sigma (n_{1}+1)}\leq x_{2},\ldots ,x_{1}<X_{\sigma (n_{2})}\leq x_{2},\ldots )=}
=
1
n
1
!
(
n
2
−
n
1
)
!
…
(
n
−
n
k
)
!
∑
σ
∏
j
=
1
k
+
1
∏
i
j
=
n
j
−
1
+
1
n
j
(
F
σ
(
i
j
)
(
x
j
)
−
F
σ
(
i
j
)
(
x
j
−
1
)
)
{\displaystyle ={\frac {1}{n_{1}!(n_{2}-n_{1})!\ldots (n-n_{k})!}}\sum _{\sigma }\prod _{j=1}^{k+1}\prod _{i_{j}=n_{j-1}+1}^{n_{j}}\left(F_{\sigma (i_{j})}(x_{j})-F_{\sigma (i_{j})}(x_{j-1})\right)}
En:
∑
σ
∏
j
=
1
k
+
1
∏
i
j
=
n
j
−
1
+
1
n
j
(
F
σ
(
i
j
)
(
x
j
)
−
F
σ
(
i
j
)
(
x
j
−
1
)
)
=
P
n
1
,
…
,
n
k
(
x
1
,
…
,
x
k
)
{\displaystyle \sum _{\sigma }\prod _{j=1}^{k+1}\prod _{i_{j}=n_{j-1}+1}^{n_{j}}\left(F_{\sigma (i_{j})}(x_{j})-F_{\sigma (i_{j})}(x_{j-1})\right)=P_{n_{1},\ldots ,n_{k}}(x_{1},\ldots ,x_{k})}
Voor een aselecte steekproef geeft de stelling voor bijvoorbeeld de gehele geordende steekproef:
F
X
(
1
)
,
…
,
X
(
n
)
(
y
1
,
…
,
y
n
)
=
{\displaystyle F_{X_{(1)},\ldots ,X_{(n)}}(y_{1},\ldots ,y_{n})=}
=
F
(
y
1
)
n
+
+
n
F
(
y
1
)
(
F
(
y
2
)
−
F
(
y
1
)
)
n
−
1
+
+
n
(
n
−
1
)
F
(
y
1
)
(
F
(
y
2
)
−
F
(
y
1
)
)
(
F
(
y
3
)
−
F
(
y
2
)
)
n
−
2
+
…
+
n
!
F
(
y
1
)
∏
i
=
1
n
−
1
(
F
(
y
i
+
1
−
F
(
y
i
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&=F(y_{1})^{n}+\\&+nF(y_{1})(F(y_{2})-F(y_{1}))^{n-1}+\\&+n(n-1)F(y_{1})(F(y_{2})-F(y_{1}))(F(y_{3})-F(y_{2}))^{n-2}+\\&\ldots \\&+n!F(y_{1})\prod _{i=1}^{n-1}(F(y_{i+1}-F(y_{i}))\end{aligned}}}
De geordende steekproef en de rangnummers spelen een belangrijke rol in de verdelingsvrije statistiek .
Als de verdelingsfunctie van de verdeling waaruit de steekproef getrokken is, bekend is, kan de geordende steekproef herleid worden tot de geordende steekproef uit de uniforme verdeling , en de eigenschappen aan de hand hiervan bestudeerd worden.
Bapat, R. B.; Beg, M. I. (1989). "Order Statistics for Nonidentically Distributed Variables and Permanents". Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961-2002) 51 (1): 79–93. JSTOR 25050725. MR 1065561.
David, H. A. Order Statistics, 2nd ed. New York: Wiley, 1981.
Gibbons, J. D. and Chakraborti, S. (Eds.). Nonparametric Statistic Inference, 3rd ed. exp. rev. New York: Dekker, 1992.
Hande, Sayaji (1994). "A Note on Order Statistics for Nondentically Distributed Variables". Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961-2002) 56 (2): 365–368. JSTOR 25050995. MR 1664921.
Hogg, R. V. and Craig, A. T. Introduction to Mathematical Statistics, 3rd ed. New York: Macmillan, 1970.
Rose, C. and Smith, M. D. "Order Statistics." §9.4 in Mathematical Statistics with Mathematica. New York: Springer-Verlag, pp. 311-322, 2002. 
