Matrixring

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is de matrixring $\mathrm {M} (n,R)$ de verzameling van alle $n\times n$-matrices over een willekeurige ring $R$. Deze verzameling is zelf een ring onder de operaties matrixoptelling en matrixvermenigvuldiging.

Eigenschappen

• De matrixring $\mathrm {M} (n,R)$ is alleen dan commutatief als $n=1$ en de ring $R$ commutatief is en in de triviale gevallen dat $n=0$ of dat $R$ de triviale ring is.
• Als $R$ commutatief is, is $\mathrm {M} (n,R)$ een *-algebra over $R$ met $*$ het transponeren van een matrix. De afbeelding $*\colon \mathrm {M} (n,R)\to \mathrm {M} (n,R)$ met $A^{*}=A^{\top }$ is immers een involutie en voldoet aan:

$(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}$

$(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$

$I^{*}=I$

$(A^{*})^{*}=A$

• Het centrum van een matrixring over $R$ bestaat uit matrices die van de vorm $b$ maal de identiteitsmatrix zijn, waar $b$ tot het centrum van de ring $R$ behoort.
• Een matrixring over een delingsring is een artiniaanse enkelvoudige ring. Het omgekeerde is ook waar en wordt de stelling van Artin-Wedderburn genoemd.
• Een matrixring over een priemring is een priemring.